Razonamiento lógico matemático problemas resueltos de secundaria y pre universidad

CONTEO DE FIGURAS FÓRMULAS , MÉTODOS Y EJEMPLOS DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PREUNIVERSITARIO Y SECUNDARIA PDF

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  • Mecanismo que consiste en determinar la máxima cantidad de figuras de cierto tipo, que se encuentran presentes en una figura dada. MÉTODOS DE CONTEO CONTEO DIRECTO 1.POR SIMPLE INSPECCIÓN:(“AL OJO”) •¿Cuántos triángulos hay en?: Mecanismo que consiste en determinar la máxima cantidad de figuras de cierto tipo, que se encuentran presentes en una figura dada. MÉTODOS DE CONTEO I) Conteo Directo: (Método de Schöenk) Consiste en asignar números y/o letras a todas las figuras simples, posteriormente se procede al conteo creciente y ordenado, de figuras de 1 número; al unir 2 números, al unir 3 números,... etc. Así, por ejemplo: Cuántos cuadriláteros hay en: Resolución: De 1 número : ninguno De 2 números : 12; 13; 14; 15; 16 = 5 De 4 números : 1245; 1356; 1426; 1523; 1634 = 5 Þ Total de cuadriláteros: EJERCICIO : ¿Cuántos triángulos tienen un asterisco? RESOLUCIÓN : Le ponemos letras a cada región Triángulos con un asterisco: b, ab, bc, be, ad, cf , en total: 6 II) Conteo Mediante Inducción: Consiste en analizar casos particulares a la figura dada (figuras análogas), tratando de encontrar una ley de formación coherente, para luego poder generalizar (encontrar la fórmula). ejemplo 1 : ¿Cuántos triángulos hay en la figura?: Resolución: Figura será Número de triángulos 1 3 6 Ley de Formación: 1 (para 1 espacio) 1 + 2 (para 2 espacios) 1 + 2 + 3 (para 3 espacios) Þ Para “n” espacios: Número de triángulos: ! IMPORTANTE ¡ Este método nos sirve para contar también “segmentos”; “cuadriláteros”; “ángulos agudos”; “sectores circulares”; “hexágonos”; “trapecios”; ... etc. ejemplo 2 : ¿Cuántos segmentos hay en la figura?: RESOLUCIÓN : como hay 9 espacios: ejemplo 3 : ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura? RESOLUCIÓN : como hay 20 espacios: ejemplo 4 : ¿Cuántos ángulos agudos hay en la figura? RESOLUCIÓN : como hay 50 espacios: ejemplo 5 : ¿Cuántos sectores circulares hay en la figura? RESOLUCIÓN : como hay “n” espacios: ejemplo 6 : ¿Cuántos hexágonos hay en la figura? RESOLUCIÓN : Contando encontramos 6 espacios. Luego ejemplo 7 : ¿Cuántos triángulos hay en la figura? Analizando casos particulares nos daremos cuenta que cumple con la fórmula: ejemplo 8 : ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura? RESOLUCIÓN : Contando directamente, encontraremos 18, pero el método más rápido sería: Número de cuadriláteros : 3×6 = 18 En general: ejemplo 9 : ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura? RESOLUCIÓN : Número de cuadriláteros = 10×15 = 150 ejemplo 10 : RESOLUCIÓN : Por el método práctico: TRAYECTORIAS (CAMINOS) Y CIRCUITOS DE EULER En esta sección, se analizará una clase amplia de problemas en los cuales se utiliza la teoría de gráficas. En el primer tipo de problema, la tarea es recorrer una trayectoria utilizando cada arista de la gráfica sólo una vez. Puede ser necesario o no comenzar y terminar en el mismo vértice. Un ejemplo sencillo de esto es el problema común de trazar una figura geométrica sin levantar el lápiz del papel. Una trayectoria en una gráfica G es una trayectoria de Euler si incluye a cada una de las aristas sólo una vez. Un circuito de Euler es una trayectoria de Euler que es a la vez un circuito. Ejemplo 1: Ejemplo 2: Un circuito de Euler en la gráfica siguiente es : p = 5, 3, 2, 1, 3, 4, 5 Teorema 1 : a) Si una gráfica G tiene un vértice de grado impar, entonces no puede existir un circuito de Euler en G. b) Si G es una gráfica conexa y todos los vértices tienen grado par, entonces existe un circuito de Euler en G. Ejemplo: Teorema 2 : a) Si una gráfica tiene más de dos vértices de grado impar, entonces no puede existir una trayectoria de Euler en G. Ejemplo: b) Si G es conexa y tiene exactamente dos vértices tienen de grado impar, entonces existe una trayectoria de Euler en G. Cualquier trayectoria de Euler debe comenzar en un vértice de grado impar y terminar en el otro. Ejemplo: Teorema del Recorrido Mínimo Si una gráfica no admite un camino euleriano (tiene más de 2 puntos impares), entonces al recorrerla el número mínimo de lados que se repiten está dado por la fórmula: Ejemplo: En la figura: como tiene 10 vértices de grado impar, para recorrerla de un solo trazo deberemos repetir: lados como mínimo ¿Cuántos cuadrados hay en la figura? a)10 b)11 c)12 d)13 e)14 ¿Cuántos triángulos como máximo hay en la siguiente figura? a)6 b)7 c)8 d)9 e)10 En la figura, ¿en cuánto excede el número de triángulos al número de cuadriláteros? a) 8 b) 9 c)10 d) 11 e) 7 ¿Cuántos triángulos hay en la figura? a)12 b)15 c)13 d)18 e)16 ¿Cuántos cuadriláteros hay? a)17 b)13 c)16 d)12 e)15

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