TRIGONOMETRIA ESFERICA RESUELTA
COORDENADAS ESFÉRICAS
El sistema de coordenadas esféricas coincide en todo con el sistema de coordenadas polares
Teniendo en cuenta las relaciones existentes entre los valores de las razones trigonométricas de dos ángulos complementarios en este caso , las fórmulas que permitan pasar de coordenadas esféricas a cartesianas y viceversa y para pasar de coordenadas cartesianas a polares, se tienen las siguientes fórmulas:
En un triángulo rectángulo ABC , (C = 90°) Indicar lo incorrecto : i) sena = senA senc ii) tanb = tanB sena iii) cosA = senB cosa iv) cosc = ctgA ctgB v) tanA = cosB tanc Señalemos los tres elementos que intervienen en la proposición a analizar : sena = senA senc Tomando como parte señalada a ‘‘a’’, luego partes opuestas : ‘‘CO-A’’ y ‘’CO-c’’ Aplicando la segunda Regla de Neper : ‘‘El seno de la parte señalada es igual al producto de los cosenos de las partes opuestas’’ sena = cos(CO – A) cos(CO – c) PROBLEMA 13 : En un triángulo esférico ABC , B = 90°; se conocen los catetos ‘‘a’’ y ‘‘c’’. Hallar la hipotenusa ‘‘b’’. RESOLUCIÓN : Graficando el triángulo de Referencia : Señalando los elementos datos e incognita , y tomando como parte ‘‘CO- b’’ 2da Regla : sen(CO-b) = cosacosc De donde : ‘‘En un triángulo esférico rectángulo , el coseno del lado hipotenusa es igual al producto de los cosenos de los lados catetos’’. PROBLEMA 14 : En un triángulo esférico rectángulo ABC , recto en B , la expresión es equivalente a : PROBLEMA 10 : Hallar el área máxima de un triángulo esférico ABC , en el cual su exceso varía según : E=90°x(1 – 2x) .R:Radio de la esfera RESolucion : Sabemos en el problema : E = 90°x(1– 2x) Reemplazando : Para que «S» sea máxima , dado que es constante , entonces : (x – 2x2) tiene que ser máximo . llamando A = x – 2x2 , completando cuadrados : Reemplazando en (I) : RPTA : ‘‘d’’ PROBLEMA 11 : Se tiene dos triángulos esféricos pertenecientes a la misma esfera , si su relación de áreas es de 1 a 3 . Calcular : Siendo : 1 los perímetros de los triángulos polares a los triángulos esféricos citados anteriormente , respectivamente . A) 1 B) 3 C) 4 D) 7 E) 2 RESolucion : Sean S y S1 las áreas de los triángulos esféricos. Luego : como : tendremos : en aspa : Tomando ‘‘cosenos’’ : RPTA : ‘‘a’’
