IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE TRANSFORMACIÓN EJERCICIOS RESUELTOS PDF

EJERCICIO 1 : 

Reduce:

cos20°+cos100°+cos140° 

EJERCICIO 2 : 

Simplifique: 

sen24°+cos54° 

EJERCICIO 3 :  

Calcule:

cos20°–cos80°+cos140°

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1. Al desplazarse un misil, su altura se expresa en función del tiempo con la siguiente ecuación Determine la máxima altura que puede alcanzar dicho misil si la distancia está expresada en km. A) 0,6 km B) 0,5 km C) 1,25 km D) 0,75 km E) 0,8 km

2. Reduzca la expresión E sen sen sen sen A) sena+senb+senc B) sena+senb–senc C) sena–senb+senc D) sena–senb–senc E) –(sena+senb+senc) 

1. Simplifique la siguiente expresión sen4θ − sen6θ − sen2θ . 2 cos 2θsenθ A) 2sen3θ B) – 2cos3θ C) sec2θ D) cos3θ E) – cos3θ Solución: E = (sen4θ − sen2θ) − sen6θ 2cos2θsenθ = 2cos3θsenθ − 2sen3θcos3θ 2cos2θsenθ = 2cos3θ(senθ − sen3θ) = 2cos2θsenθ 2cos3θ(2cos2θsen(−θ)) 2cos2θsenθ = − 2cos3θsenθ = – 2cos3θ senθ Clave: B 2. Si cos 2θ + cos5θ + cosθ sen2θ + sen5θ − senθ = 2, halle el valor de tg4θ. A) 1 B) 3 2 C) 1 D) 3 4 E) 3 3 4 Solución: cos 2θ + (cos5θ + cosθ) sen2θ + (sen5θ − senθ) cos2θ + 2cos3θcos2θ sen2θ + 2cos3θsen2θ = 2 = 2 ⇒ cos 2θ(1+ 2cos3θ) = 2 sen2θ(1+ 2cos3θ) ⇒ cos 2θ sen2θ = 2 ⇒ ctg2θ = 2 ⇒ tg2θ ⇒ = 1 2 2  1  Pero tg4θ = tg(2(2θ)) = 2tg2θ 1− tg2 2θ   =  2  = 1− 1 4 1 = 4 3 3 4 Clave: D 3. Los ángulos α y β son agudos y para ellos es cierto que senα – senβ = 27 y 65 cosα – cosβ = – 21 , ¿a qué es igual 16tg(α + β)? 65 A) 60 B) 61 C) 58 D) 63 E) 62 Solución: senα – senβ = 27 ⇒ 2cos α + β  sen  α − β  = Por tanto: 16tg(α + β) = 63 Clave: D 4. Si sen13x + sen11x + sen3x + senx = A senBx cosCx cosDx, calcule el valor de la expresión sen[10(A + C)]° + sec[10(B – D)]°. A) – 1 B) 2 C) – 1 D) 3 E) 3 2 2 Solución: A senBxcosCxcosDx = (sen13x + senx) + (sen11x + sen3x) = 2sen7xcos6x + 2sen7xcos4x = 2sen7x (cos6x + cos4x) = 2sen7x (2cos5xcosx) = 4sen7xcos5xcosx ⇒ A = 4, B = 7, C = 5, D = 1 Luego: sen(10(A + C))° + sec(10(B – D))° = sen90° + sec60° = 1 + 2 = 3 Clave: D 5. Si x = π , calcule el valor de la expresión 14 sen2x + sen4x + sen6x . cosx + cos3x + cos5x A) 2 B) 1 C) – 1 D) – 2 E) 1 2 Solución: (sen6x + sen2x) + sen4x = (cos5x + cosx) + cos3x = 2sen4x cos 2x + sen4x 2 cos3x cos 2x + cos3x sen4x(2cos2x + 1) cos3x(2cos2x + 1) = sen4x cos3x = sen4x = 1 sen4x 14(9) Pues 4x y 3x son complementarios ya que 4  π  + 3  π  = 7π = π 􀀀􀀀􀀀 ⇒ sen4x = cos3x      14   14  14 2 Clave: B 6. Simplifique la expresión  sen7x + sen5x 2   (1 – cos6x).  sen4x + sen2x  A) 2sen212x B) 2sen26x C) cos24x D) sen23x E) 2cos26x Solución:  sen7x + sen5x 2   (1 – cos6x) = (2sen23x)  sen4x + sen2x   sen6x 2   (2sen23x) = (2sen23x)  sen3x   sen3x  = 2(2sen3xcos3x)2 = 2sen26x Clave: B 7. Simplifique la siguiente expresión cos2(x + y) + cos2(x – y) – cos2xcos2y. A) 2 B) 1 C) 1 D) – 2 E) – 1 2 Solución: Sea E = cos2(x + y) + cos2(x – y) – cos2xcos2y 2E = 2cos2(x + y) + 2cos2(x – y) – 2cos2xcos2y = 1 + cos(2(x + y)) + 1 + cos(2(x – y)) – 2cos2xcos2y = 2 + [cos(2(x + y)) + cos(2(x – y))] – 2cos2xcos2y = 2 + 2cos2xcos2y – 2cos2xcos2y = 2 Luego E = 1 8. Si α = 7°30′, halle el valor de K = (senα – sen3α)(2cos5α + 2cos3α). Clave: B A) – 3 B) – 2 5 C) – 7 3 D) 3 3 E) 5 6 7 Solución: α = 7°30′ = 7,5° K = – 2(sen3α – senα)(cos5α + cos3α) = – 2(2cos2αsenα)(2cos4αcosα) = – 2(2senαcosα)(2cos2αcos4α) = – 2(sen2α2cos2α)cos4α = – 2(2sen2αcos2α)cos4α = – 2sen4αcos4α = – sen8α = – sen(8(7⋅5)°) = – sen60° = – 3 2 Clave: A 9. Sean a y b los valores máximo y mínimo de la expresión 2(sen2x + sen6x)(cos2x – cos6x) respectivamente. Halle a – b. A) 6 B) 0 C) 4 D) 8 E) 2 Solución: 2(sen6x + sen2x)(cos2x – cos6x) = 2(2sen4xcos2x)(– 2sen4xsen(– 2x)) = 4sen24x(2sen2xcos2x) = 4sen24xsen4x = 4sen34x como – 1≤ sen4x ≤ 1 ⇒ – 1 ≤ sen34x ≤ 1 ⇒ – 4 ≤ 4sen34x ≤ 4 ⇒ a = 4 máximo, b = – 4 mínimo Luego: a – b = 4 – (– 4) = 8 Clave: D 10. Con los datos de la figura, calcule a, si cos6ω + cos4ω + cos2ω = 0. A) 4 B) 6 C) 4 D) 8 E) 6 2 2 a 2 a 2       Solución: (cos6ω + cos2ω) + cos4ω = 0 2cos4ωcos2ω + cos4ω = 0 cos4ω(2cos2ω + 1) = 0 ⇔ cos4ω = 0 ∨ 2cos2ω + 1 = 0 4ω = 90° ∨ cos2ω = – 1 2 ω = 45° , 2ω = 45°, 3ω = 2 135° 2 cosω = x ⇒ x = acosω, cos2ω = a y = y ⇒ y = acosωcos2ω x acosω cos3ω = 2 = 2 ⇒ 2 = acosωcos2ωcos3ω y acosωcos 2ω 45° 135° Clave: D