RELACIONES METRICAS PROBLEMAS DESARROLLADOS

TEOREMA DE LA MEDIANA 
En todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados es igual al doble del cuadrado de la mediana relativa al tercer lado más la mitad del cuadrado de este lado. 

TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE LA MEDIANA 
En todo triángulo la diferencia de los cuadrados de dos lados es igual al doble del tercer lado multiplicado por la proyección de la mediana relativa a éste. 

TEOREMA DE HERÓN O DE LA ALTURA 
En cualquier triángulo una altura es igual al doble de la inversa del lado al cual es relativa por la raíz cuadrada del producto del semiperímetro por las diferencias de éste con cada uno de los lados. 

TEOREMA DE STEWART O DE LA CEVIANA 
El cuadrado de una ceviana multiplicada por el lado al cual es relativa es igual a la suma del cuadrado de uno de los otros lados por el segmento opuesto que determina la ceviana sobre el primer lado más el cuadrado del tercer lado por el otro segmento menos el producto del lado al cual es relativa la ceviana con los segmentos que determina sobre él.
Relaciones Métricas en los Triángulos Oblicuángulos Naturaleza de un triángulo Aprenderemos a reconocer si un triángulo es acutángulo, obtusángulo o rectángulo, conociendo las medidas de sus lados. 1º 2º 3º Si: a2 < b2+c2 Si: a2 > b2+c2 Si: a2 = b2+c2 ⇒ El Δ es acutángulo ⇒ El Δ es obtusángulo ⇒ El Δ es rectángulo EJEMPLO: Si los lados de un triángulo miden 4, 5 y 6. ¿Qué clase de triángulo es? SOLUCIÓN: Como: 62 ? 42 + 52 36 < 41 El triángulo es acutángulo. EJEMPLO: Si los lados de un triángulo miden 2, 3 y 4. ¿Qué clase de triángulo es? SOLUCIÓN: Como: 42 ? 22 + 32 16 > 13 El triángulo es obtusángulo. EJEMPLO: Si los lados de un triángulo miden 8, 15 y 17. ¿Qué clase de triángulo es? SOLUCIÓN: Como: 172 ? 82 + 152 289 = 289 El triángulo es rectángulo. 
Teoremas en los triángulos oblicuángulos 1. Primer Teorema de Euclides 2. Segundo Teorema de Euclides 3. Teorema de Herón 4. Teorema de la Mediana 5. Teorema de Stewart 6. Teorema de Euler a2 + b2 + c2 + d2 = m2 + n2 + 4x2 Propiedades generales 1. x2 = R2–m·n 2. x = 2c b2 − a2 3. ma2+mb2=5mc2 4. Teorema de Booht ma2+mb2+mc2= 4 3 (a2+b2+c2) 5. b2=a2+c2–2cx Calcular "AH" en la figura, si: AB = 6, BC = 8 y AC = 9 a)1,86 b)1,96 c)2,94 d)2,32 e) 2,74 Calcular el lado del rombo ABCD, si: AM = 6, DM = 8 y BM = MC. Calcular "BH", si: AB = 2, BC = 7 y AC = 8. a)11/14 b)11/13 c)6/7 d) 6/11 e)3/5 En el semicírculo de centro "O", BC = Calcular "BD", si: AB = AC. En la figura, calcular “R”. a)5 b)7 c)9 d)10 e)12
En un romboide sus lados miden: 4 y 6. Además una de sus diagonales mide 9, calcular la longitud de la otra diagonal. 
En un trapecio ABCD (), AB = 5, BC = 4, CD = 6 y AD = 11. Calcular la altura de dicho trapecio. En el triángulo isósceles ABC: AB = c y BC=AC = m. Hallar la proyección de sobre . Hallar "AP", si: AB = 8 , AC = BC = 10 y AM = MC. a)2 b)3 c)4 d)3,2 e)4,8 En un triángulo ABC, AB = c, BC = a y AC = b, calcular la mBAC. Si : a2 = b2 + c2 + bc a)90° b)135° c)150° d)127° e)143° En la figura G es baricentro de la región triangular ABC. Si AC = 18 y BN = 4, calcular MN. En la figura mostrada, calcular PT, si: . (Q y S son puntos de tangencia). En un triángulo ABC; la mediana y la bisectriz interior son perpendiculares. Hallar "BM", si: AB = 6 y BC = 8. En la figura: , MC = 40u ; (AC) (CB) = 81u2. Calcular MB En la figura mostrada calcular AT si: AB = 10, BC = 7 y AC = 11, siendo T punto de tangencia. A)6 B)7 C)8 D)12 E)10