PRISMA Y PARALELEPIPEDO EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS
SUPERFICIE PRISMÁTICA
Se define así a la superficie que se genera cuando una línea recta llamada generatriz, recorre todos los puntos de una poligonal plana denominada directriz, de tal forma que lo realiza siempre paralela a si misma.
PRISMA
Es el sólido geométrico que se encuentra limitado por una superficie prismática cerrada y dos planos paralelos y secantes a ella.
Newton empleo un prisma de vidrio para poder refractar la luz solar y que se muestren los colores del arcoíris.
La superficie prismática generada en el gráfico mostrado es abierta. 𝐴
NOTACIÓN: Prisma ABCDEF-A’B’C’D’E’F’ Cara lateral Altura Arista lateral Arista básica • Las bases en todo prisma son paralelas y congruentes. • Las caras laterales son regiones paralelográmicas. • De lo anterior se deduce que las aristas laterales son paralelas y de longitudes iguales. NOTACIÓN: Prisma ABCDEF-A’B’C’D’E’F’ Se cumple: Área de la superficie lateral Área de la superficie total Volumen En un prisma oblicuo, la longitud de la altura es mayor que la longitud de la arista lateral. En un prisma recto, la longitud de la arista lateral y de la altura son iguales. Resolución: Dato: 𝕍 = 50𝑚3 Piden 𝑟 • Del dato del volumen, sabemos: 𝔸𝑆.𝐿 = 200𝑚2 𝕍 = 𝔸𝐵𝑎𝑠𝑒 (ℎ) = 50𝑚3 (𝑟)(ℎ) = 50𝑚3 … (𝑖) • Del dato de la superficie lateral, sabemos: 𝔸𝑆.𝐿. = á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 ℎ = 200𝑚2 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ℎ = 200𝑚2… (𝑖𝑖) • Dividimos 𝑖 ÷ 𝑖𝑖 : 𝑎 𝑏 𝑟 𝑐 ⊙Inscrita en la base Veamos los casos más usuales: Prisma hexagonal regular 𝑎 𝑎 Prisma triangular regular Prisma cuadrangular regular 𝑎 Ten en cuenta que para cualquier prisma regular las caras laterales son congruentes. Entonces, en todo prisma regular: Donde: n: N° de lados de la base Base región triangular equilátera Base región cuadrada Base región hexagonal regular La sección recta de un prisma, es la sección que determina en él, un plano perpendicular a sus aristas laterales, dicha sección es la proyección ortogonal de las bases sobre dicho plano. Sección recta (S.R.) Base (B) 𝛽 𝑎 ℎ Del gráfico: 𝔸𝑆.𝑅. = B∙cosθ h = a∙cosθ Sabemos: 𝕍𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = (𝐵)(ℎ) Reemplazando 𝜷: Medida del diedro determinado por la base y la sección recta. También podemos indicar que: Donde: 2𝑝𝑆.𝑅 : Perímetro de la S.R Veamos un caso particular: Piden 𝔸𝑆.𝑇. 𝑎 𝑎 𝑎 • Del desarrollo de la superficie lateral se observa: 3𝑎 = 6 → 𝑎 = 2 • Luego, calculamos lo pedido: 𝔸𝑆.𝐿. = 6 𝔸𝑏𝑎𝑠𝑒 = 4 = 3 • Con ello: 𝔸𝑆.𝑇 = 36 3 + 2 3 Del gráfico: 𝑎, 𝑏, 𝑐: Son las dimensiones del sólido. 𝑑: Diagonal. TRONCO DE PRISMA ABCDE-MNLPQ 𝐴 𝐵 𝐸 𝐶 𝐷 Sección recta Bases • Las bases en todo tronco de prisma no son paralelas. • Las caras laterales son regiones trapeciales. • De lo anterior se deduce que las aristas laterales son paralelas. TRONCO DE PRISMA Triangular recto 𝑀 Si 𝐺1 y 𝐺2 son los baricentros de las bases ABC y MNP, se cumple: Además: Si 𝐺1 y 𝐺2 son los baricentros de las bases ABC y MNP, se cumple: En un tronco de prisma triangular oblicuo, la longitud del segmento que une los baricentros de sus bases es 16 𝑐𝑚. Calcule la longitud de la menor arista (𝑒𝑛 𝑐𝑚), si éstas están en razón de 3, 4 y 5. 𝐴) 4 𝐵) 8 𝐶) 12 𝐷) 16 𝐸) 48 𝐴 𝐺1 𝐵 𝐶 • Sean 𝐺1 y 𝐺2 son los baricentros de las bases ABC y MNP. • Sabemos que: 3𝑘 + 4𝑘 + 5𝑘 16 𝑐𝑚 = 3 En el tronco de prisma triangular, si 𝐺1 y 𝐺2 son los baricentros de las bases ABC y MNP, se cumple: 𝑨𝑴 + 𝑩𝑵 + 𝑪𝑷 16 𝑐𝑚 𝑀 𝑁 𝐺2 → 𝑘 = 4 𝑐𝑚 ∴ 𝟑𝒌 = 𝟏𝟐 𝒄𝒎 Clave 𝑪 𝑮𝟏𝑮𝟐 = 𝟑 𝑃 TRONCO DE PRISMA CUADRANGULAR RECTO DE BASE PARALELOGRÁMICA 𝐶′ TRONCO DE PRISMA CUADRANGULAR OBLICUO DE BASE PARALELOGRÁMICA 𝐵′ 1. En el prisma regular mostrado, calcule la diagonal del desarrollo de la superficie lateral. 5 4 A) 15 B) 13 C) 10 D) 12 E) 16 5. En el prisma recto mostrado HE=4 m, AE=16 m, BC=14 m y el área de la región triangular CEB es 140 m2. Calcule el volumen del prisma. H E A C B A) 1600 m3 B) 1640 m3 C) 1680 m3 D) 1790 m3 E) 1860 m3 6. La figura representa un prisma hexagonal regular de arista básica a y altura 8 a. Entonces el ángulo q de la figura mide 10. Si AB= 3, CN= 2, BM= 3 y AP= 4, halle el volumen del sólido mostrado. 45º A C B M N P A) 9 2 u3 B) 15 2 u3 C) 27 2 u3 D) 8 u3 E) 9 u3 11. Según el gráfico, el área de la región ABC es 4 u2. Calcule el volumen del tronco de prisma oblicuo. 6 3 60º 2 3 4 3 B C A A) 36 u3 B) 72 u3 C) 24 u3 D) 32 u3 E) 30 u3 12. Si la cantidad de aristas de un prisma es A, halle la cantidad de diagonales de dicho prisma. A) 3 A2 B) A2 9 C) A A 3 1 3 ( + ) D) A A 3 3 3 − E) A A 9 9 1 − 13. Del gráfico mostrado, ABCDEF-A’B’C’D’E’F’ es un tronco de prisma regular, AA’= 12, BB’= 10, CC’= 9 y DD’= 8. Halle EE’ + FF’. A’ B’ C’ D’ E’ F E A D B C F’ A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21