POLIEDROS PROBLEMAS DESARROLLADOS
Es el sólido limitado por cuatro o más regiones poligonales planas denominadas caras; a los lados de las caras se les denomina ARISTAS del poliedro y al segmento que tiene extremos; dos vértices que no pertenecen a una misma cara se le denomina diagonal.
PREGUNTA 1 :
Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):
I. Los centros de las caras de un tetraedro regular son los vértices de un tetraedro.
II. Los centros de las caras de un octaedro regular son los vértices de un octaedro.
III. Los centros de las caras de un icosaedro regular son los vértices de un dodecaedro.
A) VVV
B) VVF
C) VFF
D) FFV
E) VFV
RESOLUCIÓN :
I. Los centros de las caras de un tetraedro regular son las vértices de un tetraedro también regular (conjugado). (V)
II.
Los centros de las caras de un octaedro regular son los vértices de un cubo (conjugado). (F)
III. Los centros de las caras de un icosaedro regular son los vértices de un dodecaedro regular (conjugado). (V)
Rpta. : "A"
PREGUNTA 2 :
Halle el perímetro de la sección que determina un plano secante a un tetraedro regular ABCD, sabiendo que pasa por los puntos medios de AD y CD y es paralelo a BD (a: longitud de la arista del tetraedro regular).
A) a/2
B) a
C) 3a/2
D) 2a
E) 5a
Rpta. : "D"
PREGUNTA 3 :
Un poliedro convexo tiene como caras 12 triángulos, 16 cuadriláteros, 24 pentágonos y 13 exágonos. Halle su número de vértices.
A) 84
B) 85
C) 86
D) 87
E) 88
Rpta. : "C"
Clasificación A. Por el número de caras Se clasifican los poliedros en tetraedros, pentaedros, exaedros, ... B. Según sus características 1. Poliedro convexo Si todos los ángulos diedros son convexos; una recta secante lo corta siempre en dos puntos. 1 2 2. Poliedro cóncavo Si tiene por lo menos un diedro cóncavo. Una recta secante lo corta en más de dos puntos. 3. Poliedro regular Todas sus caras son polígonos regulares iguales. 4. Poliedro irregular Es aquel poliedro que no es regular. II. TEOREMA DE EULER En todo políedro se cumple que el número de caras mas el número de vértices es igual al número de aristas más dos unidades. Donde: C = # de caras C+V = A+2 V = # de vértices A = # de aristas Propiedad Si un poliedro está formado por polígonos de diferente número de lados, el número de aristas se calcula de la siguiente manera. m1p1 m2p2 m3p3 ........ A 2 + + + = Donde: m1, m2, m3, ........ es el número de lados de cada polígono. p1, p2 , p3, ....... es el número de polígonos que nos dan. POLIEDROS REGULARES I DESARROLLO DEL TEMA POLIEDROS REGULARES I Exigimos más! Teorema 1 En todo poledro la suma de las medidas de los ángulo internos de todas sus caras es igual a 360° multiplicado por el número de vértices disminuido en dos. Smicaras 360 V 2 Donde: Smicaras : suma de medidas de los ángulo internos de todas sus caras. V : Número de vértices del poliedro. Demostración Sea C el número de caras. En cada cara se cumple: Pero por la observación, se sabe: (n1 + n2 + n3 + ... + nc) es igual al doble del número de aristas del poliedro (2A), (cada una de ellas es lado de dos caras). Reemplazando en (1) Smicaras1 180(2A 2C) 360 A C II Por el teorema de Euler C V A 2 A C V 2 Reemplazando (III) en (II): Smicaras 360 V 2 Teorema 2 En todo poliedro cuyas caras tienen igual número de lados, el número de aristas es igual al semiproducto del número de caras cn el número de lados de una cara. A Cn 2 Donde: A : Número de aristas. C : Número de caras. n : Número de lados en una cara. Demostración El número total de lados de todas las caras es C x n, pero como cada arista está en dos caras. (dos lados de distintas caras al superponerlas forman una arista), entonces. lados arista lados aristas 2 1 C n A A Cn 2 Teorema 3 En todo poliedro el número de diagonales es igual al valor de la combinación del número de vértices del poliedro tomados de dos en dos, menos el número de aristas y menos la suma de los números diagonales de todas las caras de dicho poliedro. V NDP C2 A NDcaras Donde: NDP : Número de diagonales del poliédro. : A : Número de aristas. NDcaras: Suma de los números de diagonales de todas sus caras. Demostración Sabemos que un segmento esta determindado por dos puntos, siendo estos sus extremos. Al hacer las combinaciones de los vértices tomados de dos en dos (designado por V C2 ), nos daría la cantidad de aristas (A) diagonales de las caras (ND) y diagonales del poliedro (NDP), por lo que V 2 D DP V DP 2 D C A N N N C A N Sección plana Plano secante no convexa Poliedro no Convexo H Teorema de la Superficie Poliédrica Abierta En toda superficie poliédrica su número de caras aumentado en su número de vértices es igual a su número de aristas aumentado en uno C V A 1 Donde: C: Número de caras de la superficie. V: Número de vértices de la superficie. A: Número de aristas de la superficie. Exigimos más! POLIEDROS REGULARES I LIBRO UNI 91 GEOMETRÍA Si entendemos a una región poligonal como una supercie poliedrica de una cara, será fácil verificar que: C + V = A + 1 (1) Si tuviéramos dos regiones poligonales unidas (aún por compartir un vértice) también sería fácil notar que: C + V = A + 1 El hecho de que esta fórmula vuelve a aparecer nos invita a investigar este resultado para un mayor número de regiones poligonales. Usando el criterio de inducción matemática, vemos que para una superficie poliédrica de la misma fórmula. Supangamos que la misma fórmula es válida para una superficie poliédrica de n caras. Demostrmos que bajo este supuesto la fórmula será válida para n + 1 caras. Sea para la superficie poliédrica de n caras. Cn : Número de caras. Vm : Número de vértices. An : Número de aristas. y para la superficie poliédrica de n + 1 caras: Cm : Número de caras. Vm : Número de Vertices. Am : Número de aristas. Nuestro hipótesis es: Cn+ Vn = An + 1 (2) Agreguemos (como muestra la figura) una cara más a la superficie poliédrica de n cara para obtener la de m caras. Superficie de n caras (a) Superficie de n + 1 caras (b) Luego de esto, llamemos Ac y Vc las aristas compartidas y los vértices compartidos en esta unión. Ahora es fácil mostrar que: Vc = Ac + 1 Cm = Cn + 1 Vm = Vn + Vp2 - Vc Am = An + Ap2 - Ac donde Vp2 y Ap2 es el número de vértices y aristas, respectivamente, de la cara P2 (entonces Vp2 = Ap2), reemplazando estas últimas relaciones en (2). Cm - 1 + Vm + Vp2 + Vc = Am - Ap2 + Ac + 1 simplificando: Cm + Vm + Vc = Am + 2 + Ac Cm + Vm = Am + 1 lo que confirma nuestra conjetura. Teorema para los Poliedros Teorema de Euler En todo poliedro convexo y otros poliedros denominados poliedros simples, la suma del número de caras con el número de vértices es igual al número de aristas aumentado en dos. C V A 2 donde: C : Número de caras del poliedro. V : Número de vértices del poliedro. A : Número de aristas del poliedro. Demostración Sea la superficie poliédrica que limita a un poliedro "quitamos" una cara, enotnces obtenimos una superficie poliédrica abierta. A B C D F E Para la figura según lo demostrado en el teorema anterior: C + V = A + 1 entonces: C = A - V + 1 Para obtener la fórmula para el poliedro (superficie cerrada), debemos agregar la cara que "quitamos" y, como se observa, sólo el número de caras aumenta en 1. Lós vértices y aristas siguen siendo la misma cantidad. Por lo que ahora. C = (A - V + 1) + 1 C V A 2 Observación: Si un conjunto de regiones poligonales sirve para formar una superficice poliédrica cerrada, la suma del número de lados de todas las regiones poligonales es igual al doble del número de aristas de la superficie que formaron. Si un poliedro tiene V vértices, entonces tiene V ángulo poliedros. Si sumamos los rayos de estos ángulo poliedros, obtendremos un número igual al doble del número de aristas del poliedro. POLIEDROS REGULARES I Exigimos más! LIBRO UNI 92 GEOMETRÍA V. NÚMERO DE DIAGONALES DE UN POLIEDRO v #Dpoliedro = C2 – #dcaras – A Donde: #Dpoliedro : Número de diagonales del poliedro. v C2 : Combinación del número de vértices de dos en dos. #dcaras : Número de diagonales de todas las caras del poliedro. A : # de aristas del poliedro. Para el exaedro regular Para el tetraedro regular #dcaras = 2(6) = 12 ; A = 12 v 8 2 2 C C 8! 28 (6!) (2!) Reemplazando en la ecuación: #D = 28 – 12 – 12 = 4 #Dcubo = 4 #dcaras = 0 ; A = 6 v 4 C2 C2 6 Reemplazando en la ecuación: #D = 6 – 0 – 6 = 0 #Dtetraedro = 0 Problema 1 Se ubica el punto P, exterior al plano que contiene al rectángulo ABCD, de manera que PA = 1 m; PB = 2 m y PC = 3 m. Hallar PD. Nivel intermedio A) 6 B) 2 C) 3 D) 2 3 E) 2 6 Resolución: Si PA plano ABCD y AB BC PB BC (T3P) PBC: BC2 =32 – 22 BC = 5 PAD: x2 =12 +( 5)2 x2 6 x = 6 Respuesta: A) 6 Problema 2 Un poliedro está formado por 10 triángulos, 20 cuadriláteros y 30 pentágonos; hallar el número de vértices que tiene el poliedro. Nivel intermedio A) 50 B) 64 C) 70 D) 72 E) 48 Resolución: N.° de caras = 10 + 20 + 30 N.° de caras = 60 N. aristas 3(10) 4(20) 5(30) 130 2 = + + = Por el teorema de Euler: C + V = A + 2 60 + V = 130 + 2 V = 72 Respuesta: D) 72 Problema 3 Calcular el lado del tetraedro inscrito en otro tetraedro regular de lado 12 m. Nivel intermedio A) 2 m B) 5 m C) 3 m D) 6 m E) 4 m Resolución: 2k 2k k k 6 x 6 6 6 60º 6 Del gráfico: x 2k 6 3k = x = 4 m Respuesta: E) 4 m Para el octaedro regular Para el dodecaedro regular #dcaras = 0 ; A = 12 v 6 2 2 C C 6! 15 (4!) (2!) Reemplazando en la ecuación: #D = 15 – 0 – 12 =3 #Doctaedro = 3 caras #d 12(5)(5 3) 60 2 ; A = 30 v 20 2 2 C C 20! 190 (18!) (2!) Reemplazando en la ecuación: #D = 190 – 60 – 30 = 100 #Ddodecaedro = 100 Para el icosaedro #dcaras = 0 ; A = 30 v 12 2 2 C C 12! 66 (10!) (2!) Reemplazando en la ecuación: #D = 66 – 0 – 30 =36 #Dicosaedro = 36 problemas resueltos LIBRO UNI 93 GEOMETRÍA GEOMETRÍA I. DEFINICIÓN Sólido geométrico, limitado por regiones poligonales, regulares y congruentes entre sí. Además cumple el teorema de Euler (para todos los vértices de un poliedro regular concurrente el mismo número de aristas). Teorema Sólo existen cinco poliedros regulares los cuales son: Tetraedro regular, hexaedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular, icosaedro regular. II. TETRAEDRO REGULAR G: Baricentro de la región triangular ABC. Notación VABC: Tetraedro regular h a 6 3 As.t = a2 3 ; As.t: área de la superficie total. a3 2 V 12 ; V: volumen de tetraedro Propiedad Si VABC es un tetraedro regular y VM = MG X = 45° III. HEXAEDRO REGULAR (CUBO) Notación ABCD – EFGH: Hexaedro regular As.t = 6a2 ; V = a3 ; d = a O: centro del hexaedro Propiedad: ABCD–EFGH Hexaedro regular AM = MN = NG IV. OCTAEDRO REGULAR Notación: P – ABCD – Q: Octaedro regular O: Centro del octaedro regular Del gráfico: APCQ, ABCD y BPDQ son cuadrados. PQ = BD = AC = a 2 As.t = 2a2 3 a3 2 V 3 V. DODECAEDRO REGULAR POLIEDROS REGULARES II DESARROLLO DEL TEMA Exigimos más! LIBRO UNI 94 GEOMETRÍA N° C: número de caras: N° C = 12 N° V: número de vértices: N° V = 20 N° A: número de aristas: N° A = 30 N° D: número de diagonales: N° D = 100 V: Volumen del dodecaedro regular 5a3 47 21 5 V 2 10 VI. ICOSAEDRO REGULAR
