PIRÁMIDES ÁREA Y VOLUMEN TRONCO DE PIRÁMIDE PROBLEMAS RESUELTOS DE EXAMEN ADMISION UNIVERSIDAD
Egipto tiene más de cien pirámides de distintas dimensiones y hay casi cincuenta más en el vecino país de Sudán.
Sin embargo estas tres pirámides de Egipto han ganado su fama por ser las mayores de todas ellas.
En las fotos más conocidas, la pirámide central, es decir la de Kafra (o Kefrén), parece más grande debido al ángulo de enfoque y a que fue construida sobre un terreno más elevado, pero la mayor de las tres pirámides es la Gran Pirámide de Keops, hoy en día también conocida como la Gran Pirámide de Giza.
La Pirámide de Keops sirvió como tumba para el faraón Keops(Jufu) de la cuarta dinastía del Antiguo Egipto. Además es la única que perdura de las Siete Maravillas del Mundo Antiguo, las otras dos pirámides de la necrópolis (Kefrén y Micerinos) no están incluidas en estas maravillas antiguas.
En una pirámide regular, las aristas laterales presentan la misma longitud.
En toda pirámide regular se cumple que
• las caras laterales están limitados por triángulos isósceles congruentes entre sí.
• las caras laterales y la base forman ángulos diedros de medidas iguales.
• las aristas laterales forman con la base ángulos de medidas iguales.
TRONCO DE PIRÁMIDE
Es una porción de pirámide comprendida entre su base y un plano, paralelo a dicha base y secante a las aristas laterales.
• Las caras laterales de un tronco de pirámide son regiones trapeciales.
• Las bases de un tronco de pirámide son paralelas.
Para cualquier pirámide, independientemente de donde cae la altura: 𝕍 = VOLUMEN (𝔸𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) 𝟑 Del gráfico, si ABCD es un rectángulo. Calcule el volumen de la pirámide. 𝑉 RESOLUCIÓN: ℎ Piden el Volumen PIRÁMIDE CUADRANGULA 𝐴 SEMEJANZA DE PIRÁMIDES Aplicando lo aprendido Del gráfico, si la región ABC biseca a la altura de la pirámide. Calcule la razón de volúmenes de la pirámide menor y la mayor. RESOLUCIÓN: Piden: 𝕍𝑝𝑖𝑟á𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝕍𝑝𝑖𝑟á𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 ℎ3 = (2ℎ)3 𝕍𝑝𝑖𝑟á𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 1 ∴ = 𝕍𝑝𝑖𝑟á𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 8 PIRÁMIDE REGULAR Su base es un polígono regular. Aristas laterales congruentes. La altura cae en el centro de la base. PIRÁMIDE REGULAR Pirámide triangular regular Pirámide cuadrangular regular ÁREA DE LA SUPERFICIE LATERAL 𝔸𝑆.𝐿. = (𝔸 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎) (𝑁° 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 ) 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝔸𝑆.𝐿. = (𝑃𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎) 𝑃: 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ÁREA DE LA SUPERFICIE TOTAL 𝔸𝑆.𝑇. = 𝔸𝑆.𝐿. + 𝔸𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐺: baricentro 𝑂: centro Además: • 𝜃: Medida del ángulo diedro entre una cara lateral y la base. • 𝛼: Medida del ángulo entre la arista lateral y la base. Aplicando lo aprendido Del gráfico, calcule el área de la superficie lateral de la pirámide regular. RESOLUCIÓN: Piden 𝔸𝑆.𝐿. • Sus aristas laterales son de igual longitud.
Problema 1 En una pirámide regular de base cuadrangular, el punto medio de la altura dista en una cara lateral y de una arista lateral 6 u y 8 u respectivamente. Calcule al altura (en u) de la pirámide. A) 6 2 B) 12 2 C) 18 2 D) 24 2 E) 34 2 Problema 2 Una servilleta de papel cuadrada ABCD, cuyo lado tiene 24 cm de longitud, se dobla por las líneas punteadas tal como se muestra en la figura, donde M y N son puntos medios de BC y CD respectivamente; luego se juntan los bordes MB con MC, NC con ND y AB con AD formándose una pirámide. Calcule la altura de esta pirámide (en cm). 7. En una pirámide regular de volumen V, se ubica un plano paralelo a su base, el cual determina en la pirámide una sección cuya área es la mitad del área de la base de la pirámide inicial. Calcule el volumen del tronco de pirámide determinado. 3. Según el gráfico se tiene un cubo y un tronco de pirámide regular. Calcule el volumen del tronco de pirámide si la arista del cubo mide 1 m y S1= S2 (S1 y S2: áreas de las regiones sombreadas). 6. En la figura mostrada, ABCD es un trapecio rectángulo, tal que CD=BC= 2(AB) =2a. Si PQ es perpendicular al plano del trapecio tal que PQ=a y los volúmenes de las pirámides Q-ABP y Q-CDP son iguales, calcule el volumen de la pirámide Q-BCP.
