PARÁBOLA EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1 :
Dar la ecuación de la parábola cuyo foco se encuentra en (4;5) y la ecuación de su directriz es: x + 1 = 0.
A) y² – 5x + 5y – 20 = 0
B) y² – 10x –10y + 20 = 0
C) y² + 5x – 5y + 10 = 0
D) y² + 5x + 5y – 20 = 0
E) y² – 10x – 10y + 40 = 0
PROBLEMA 2 :
Hallar las coordenadas del foco de la parábola: x² + y = 0.
A) (0;–1/4)
B) (1; 2)
C) (2; 3)
D) (4; 7)
E) (9; 2)
PROBLEMA 3 :
Encuentre la ecuación de la parábola con vértice en (2 ; 3) cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas y pasa por el punto (4 ; 5).
A) (y – 3)² = 16(x – 3)
B) (y + 3)² = 16 (x + 3)
C) (y – 3)² = 4(x + 3)
D) (y + 3)² = 4(x + 3)
E) (y – 3)² = 8(x – 3)
PROBLEMA 4 :
Halle la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro el lado recto de la parábola de ecuación: y² = 10x.
A) (x – 2,5)² + y² = 5
B) (x + 2,5)² + y² = 5
C) (x + 5)² + (y + 5)² = 52
D) (x – 2,5)² + y² = 25
E) (x – 5)² + y² = 5
Secciones cónicas
1.
Un puente colgante parabólico tiene una profundidad de 0,5 m en el centro y una longitud de 10 m. Calcule la distancia del vértice al foco.
2.
Demuestre que la ecuación de una parábola con vértice V(h; k) y directriz y =k – p es (x – h)2=4p( y – k); p > 0.
LA PARÁBOLA
Es el lugar geométrico de un punto M del plano que equidista de una recta fija LD (directriz) y de un punto fijo F llamado foco, que no pertenece a LD. Es decir, M es un punto de la parábola si y solo si d(M; LD) =d(F; M)
Propiedades
1. La recta tangente a la parábola forma ángulos iguales con el radio focal del punto de contacto y la recta que pasa por el punto de contacto; además, es paralela al eje de la parábola.
2. El segmento de recta tangente a la parábola, comprendido entre el punto de tangencia y el punto de intersección con el eje de la parábola, se divide por la mitad por la recta tangente trazada en el vértice de la parábola.
Elementos de la parábola
: foco LD: recta directriz V : vértice L1: eje focal TU: cuerda focal EF: radio focal LR: lado recto Ecuación de la parábola de vértice V(h; k) y eje focal paralelo al eje X (y – k)2=4p(x – h) vértice: V(h; k) foco: F(h+p; k) recta directriz: LD: x=h – p • Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha. V F L D • Si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda. F V L D Ecuación de la parábola de vértice V(h; k) y eje focal paralelo al eje Y (x – h)2=4p( y – k) vértice: V(h; k) foco: F(h; k+p) recta directriz: LD: y =k – p • Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba. Si p < 0, la parábola se abre hacia abajo. V F L D RECTAS TANGENTES A UNA PARÁBOLA 1. La ecuación de la recta tangente en el punto M(x0; y0) de la parábola y2=4px es L: y y p y − 0 = (x − x ) 0 0 2 L: y0y =2p(x0+x) 2. La ecuación de la recta tangente en el punto M(x0; y0) de la parábola x2=4py es L y y x p : − 0 = (x − x ) 0 2 0 L: x0 x=2p( y0+ y) Demostración y2=4Px M(X0; Y0) L T X Y Sea la recta tangente L T : y – y0=m(x – x0) (I) y la ecuación de la parábola y2=4px (II) Reemplazamos (II) en (I). y y m y p − = − x 0 2 4 0 Operamos my2 – 4py+ (4py0 – 4pmx0) =0 Por condición de tangencia B2 – 4AC=0 → (– 4p)2 – 4(m)(4py0 – 4pmx0) =0 Operamos 16p2 –16mpy0+4m2(4px0) =0 16 2 16 4 0 0 2 0 p − mpy + m (y2 ) = 4p2 – 4pmy0+m2y2 0=0 (2p – my0)2=0 m p y = 2 0 → LT y y p y : − 0 = (x − x ) 0 0 2
PROBLEMA : Del gráfico , V es vértice de la parábola ,V y F son puntos de tangencia , . Halle la ecuación de la parábola . PROBLEMA 26 : Los cables del tramo central de un puente suspendido tienen la forma de una parábola. Si las torres tienen una separación de 800 metros y los cables están atados a ellas 400 metros arriba del piso del puente, ¿determinar qué la longitud debe tener el soporte AH que está a 100 metros de la torre?. PROBLEMA 30 : Hallar la ecuación de la parábola que tiene su eje focal paralelo al eje “y” y que pasa por (0;0), (3;0) PROBLEMA 33 : Una piedra se lanza en forma horizontal desde lo alto de una torre de 125 pies de altura . La piedra cae al piso en el punto A como indica la figura . En su trayectoria la piedra roza la copa de un árbol que está a 24 pies del punto en el cual la piedra toca el piso . Hallar la altura del árbol en pies . PROBLEMA 40 : Se tiene la parábola cuya ecuación es y la ecuación de la recta 2x + 4y + 7 = 0. Halle la ecuación de la recta paralela a la recta dada y que es tangente a dicha parábola. PROBLEMA 41 : P es una parábola con vértice V, eje focal contenido en el eje Y, es una cuerda que pasa por el foco F, el eje y divide a en dos segmentos y donde FP=5, determina con el eje y un ángulo que mide 45°, halle el parámetro de la parábola. PROBLEMA 46 : Sea P(x0 ; y0) un punto de la parábola con vértice en el origen , con eje focal sobre el eje y , que pasa por el punto (4; 4), sabiendo que la recta tangente a la parábola en P es paralela a L. calcule la distancia de P a L.