LA SUMA O DIFERENCIA DE 2 SENOS O COSENOS A PRODUCTO Y DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA EJERCICIOS RESUELTOS DE IDENTIDADES DE TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
El coseno del ángulo agudo α es igual al doble del coseno del triple de α . Evaluar la expresión 8 (cos3α + cosα) . 3 A) 3 B) 4 C) D) E) 3,5 Solución: cos α = 2cos3α ⇒ cos α = 2(4 cos3 α − 3 cos α) ⇒ cos α = 8 cos3 α − 6 cosα ⇒ 1 = 8 cos2 α − 6 ⇒ 7 = cos2 α. ( ) cos3α + cos α = 2cos 2α.cos α 7 = 2cos2 α ⇒ 7 = 1+ cos 2α ⇒ 3 = cos 2α 4 4 4 Llevando (II) en (I): cos3α + cosα = 2 3 . Finalmente: 8 (cos3α + cosα) = 8 . 3 . = 3 3 4 Rpta.: C 3. Si sen12º +sen16º +sen20º = senα.senβ.csc ω (α, β y ω son ángulos agudos) α + β − ω. A) 18º B) 22º C) 20º D) 24º E) 21º Solución: (sen12º +sen20º) + sen16º = 2sen16º cos 4º + sen16º = sen16º (2cos 4º +1) = sen16º 2 (1− 2sen2 2º ) + 1 = sen16º 3 − 4sen2 2º sen2º = sen16º.sen6º.csc 2º sen2º ∴α = 16º, β = 6º y ω = 2º , halle α + β − ω = 16º +6º −2º = 20º 4. Halle el valor de la expresión 2 ctg40º + csc 20º 2 − tg10º . Rpta.: C A) 3 B) 3 C) 2 D) 3 E) 2 Solución: Sea M el número buscado, entonces, M =2 cos 40º +1 − sen10º = cos10º 2 cos 40º + 1 − sen10º cos10º sen40º 2sen20º 2sen20º.cos 20º 2sen20º M =2 − sen10º cos 40º +cos 20º cos10º (I) (II) 7 2 2 7 2 14 3 2sen20º cos 20º M =2 − sen10º 2cos30º cos10º cos10º 2sen20º cos 20º M = 2sen20º cos 20º − sen10º = sen40º −sen10º cos30º cos30º cos10º cos10º cos30º cos10º M = 2sen40º −2cos30º sen10º 2cos30º cos10º 2sen40º −(sen40º −sen20º) M = 2cos30º cos10º M = sen40º +sen20º 2cos30º cos10º M = 2sen30º cos10º 2cos 30º cos10º ∴M = tg30º = 3 3 (senA + senB)(senA + senC)(senB + senC) Rpta.: A 5. Simplificar la expresión A +B + C = 180º . 2(senA + senB + senC) ; si se sabe A) cos A −B cos A − C Si E es la expresión que vamos a simplificar, entonces