ESFERA DE REVOLUCIÓN SUPERFICIE ESFÉRICA EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO CASQUETE HUSO ANILLO ESFÉRICO ZONA CUÑA ESFÉRICA PDF
SUPERFICIE ESFÉRICA PRIMER TEOREMA Sobre el cálculo del área de la superficie que genera un segmento de recta al girar 360° respecto de una recta coplanar a dicho segmento. Cálculo del área de la superficie que genera una poligonal regular al girar respecto de una recta coplanar a dicha poligonal. 𝐴 − 𝐵 − 𝐶 − 𝐷 es la línea poligonal regular que generará a la superficie de revolución C 𝔸𝑺𝒖𝒑.𝑮𝒆𝒏: Área de la superficie A generada por la línea poligonal regular. 𝐴′ 360° 𝒂: Longitud del segmento mediatriz del 𝐴𝐵. 𝒉: Longitud de la proyección ortogonal del 𝐴𝐵 sobre el eje de giro. 𝒂: Longitud de la apotema de la línea poligonal regular. 𝒉: Longitud de la proyección ortogonal de la línea poligonal regular sobre el eje de giro. Si consideramos a la superficie esférica, como la superficie generada por una semicircunferencia alrededor de su diámetro, aprovechando el teorema de Arquímedes en su caso general, se puede calcular el área de la superficie esférica. 360° PRUEBA DEL TEOREMA Consideremos entonces una poligonal regular inscrita en una circunferencia de radio R que tenga una cantidad grande de lados, el área de su superficie generada por rotación seguirá siendo: 𝟐𝝅𝑹𝒉 𝑅: Radio de la sup. esférica Basta considerar la poligonal de una cantidad infinita de lados, de modo que al girar obtenemos una superficie esférica cada vez más perfecta y el teorema aún seguirá siendo válido: 𝔸𝑆𝑢𝑝. 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 = 2𝜋𝑅ℎ Pero ya que la poligonal 𝐴𝐵 … 𝐹𝐺 tiene sus extremos en el eje de giro, es fácil reconocer que al tener muchos lados: ℎ = 2𝑅. Reemplazando: ∴ 𝔸𝑆𝑢𝑝. = 𝟒𝝅𝑹𝟐 𝑒𝑠𝑓. Es aquella superficie formada por todos los puntos del espacio que equidistan de otro punto fijo al cual denominaremos centro Todo plano secante determina una circunferencia Se determina cuando el plano secante no contiene al centro de la superficie esférica 𝑇: punto de tangencia Se cumple: 𝑂𝑇 ⊥ ▰𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 Se determina cuando el plano secante contiene al centro de la superficie esférica Ejemplo de circunferencia máxima. 𝑇 Todo plano secante que determina una circunferencia máxima en la superficie esférica la divide en dos semi superficies esféricas. En el gráfico se muestra una Se cumple: Resolución: Piden 𝔸𝑠𝑢𝑝.𝑒𝑠𝑓. = 4𝜋𝑅2 … (𝑖) Dato: 𝔸𝑠𝑢𝑝.𝑒𝑠𝑓. = ℓ⊙𝑚á𝑥. • Del dato: 2 Sea 𝑃 un punto exterior a la superficie esférica 𝑃𝑇 tangente a la superficie esférica en 𝑇 𝑃𝑆𝑄 secante a la superficie esférica en 𝑆 𝑦 𝑄 Se cumple: 𝑅 Prueba: 𝑂 • Como 𝑃𝑇 𝑦 𝑃𝑆𝑄 son secantes, éstas determinan ▰H 𝑄 • Luego 𝑇, 𝑆 𝑦 𝑄 no colineales, dichos puntos pertenecen a la circunferencia menor determinada en la superficie esférica por el plano 𝐻. • En la circunferencia menor se cumple el teorema de la tangente, lo cual prueba el teorema. Sea 𝐴 un punto exterior a la superficie esférica 𝐴𝐷𝐸 secante a la superficie esférica en 𝐷 𝑦 𝐸 𝐴𝐵𝐶 secante a la superficie esférica en 𝐵 𝑦 𝐶 Se cumple: Prueba: • Como 𝐴𝐷𝐸 𝑦 𝐴𝐵𝐶 son secantes, éstas determinan ▰H • Luego el plano 𝐻 determina una circunferencia menor en la superficie esférica, donde las rectas mencionadas son secantes a dicha circunferencia en los puntos 𝐵, 𝐶, 𝐷 𝑦 𝐸. • En la circunferencia menor se cumple el teorema de las secantes, lo cual prueba el teorema. ZONA ESFÉRICA Es la porción de superficie esférica comprendida entre dos circunferencias determinadas por dos planos paralelos. También puede considerarse como la superficie generada por un arco de circunferencia que gira respecto al diámetro de la semicircunferencia que lo contiene. 360° Circunferencias 𝑅 Arco generador 𝑅 contenidas en ℎ planos paralelos Se cumple: 𝔸𝑍.𝐸 = 2𝜋𝑅ℎ Algunas bolas de billar nos pueden ejemplificar la idea de la zona esférica. Donde: • 𝔸𝒁.𝑬: Área de la zona esférica • 𝒉: altura de la zona esférica o proyección ortogonal del arco generador sobre el eje de giro CASQUETE ESFÉRICO Es la porción de superficie esférica comprendida entre una circunferencia determinada por un plano secante. También puede considerarse como la superficie generada por un arco de circunferencia que gira respecto al diámetro de la semicircunferencia que lo contiene, donde un extremo del arco coincide con un extremo de su diámetro. 360° Arco generador 𝑎 ℎ 𝑎 ℎ 𝑅 Algunas lámparas de 𝑅 techo en sus diseños usan los casquetes esféricos. Donde: Se cumple: • 𝔸𝑪.𝑬: Área del casquete esférico 𝔸𝑪.𝑬 = 𝟐𝝅𝑹𝒉 Además: • 𝒉: altura del casquete esférico o proyección ortogonal del arco generador sobre el eje de giro HUSO ESFÉRICO Es la porción de superficie esférica comprendida entre dos semicircunferencias máximas que tengan el mismo diámetro. También puede considerarse como la superficie generada por una semicircunferencia cuando gira respecto a uno de sus diámetros de tal manera que la medida del ángulo de giro sea menor a 360°. • Para calcular el área del Huso esférico, usaremos una regla de tres simple: 4𝜋𝑅2 360° 𝔸𝐻.𝐸 𝛼 • Despejamos 𝔸𝐻.𝐸 y tenemos: 𝔸𝐻.𝐸 = 𝛼4𝜋𝑅2 360° Donde: • 𝔸𝑯.𝑬: Área del huso esférico Resolución: Dato: Piden ℎ • Notamos que la región visible es equivalente a un casquete esférico y que la superficie terrestre es equivalente a una superficie esférica. 1 𝔸𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 = 𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 3 𝔸 𝑠𝑢𝑝. 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 • En el dato: 1 → ℎ′ = 2 𝑅 Línea tangente 2𝜋𝑅ℎ′ = 3 3 ℎ • Completamos longitudes y se observa: Clave 𝑫 Dicho centro, coincide con el centro de las superficies esféricas inscritas y circunscritas a los poliedros regulares. Veamos algunas situaciones: Tetraedro regular 𝐴𝐵𝐶𝐷 Hexaedro regular 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐸𝐹𝐺𝐻 Octaedro regular 𝑀 − 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑁 Superficie esférica inscrita Superficie esférica 𝑀 inscrita 𝑂: centro de 𝐴𝐵𝐶𝐷 Se cumple: 𝒓: longitud del radio de la superficie esférica inscrita 𝟑𝒓: longitud del radio de la superficie esférica circunscrita 𝑂: centro del cubo 𝐻 Se cumple: 𝒓 = 𝒂 : longitud del radio de la superficie esférica 𝟐 inscrita 𝒂 𝟑 : longitud del radio de la superficie esférica 𝟐 circunscrita Se cumple: 𝑁 𝒓 = 𝒂 𝟔 : longitud del radio de 𝟔 la superficie esférica inscrita 𝒂 𝟐 : longitud del radio de la 𝟐 superficie esférica circunscrita
