DIEDROS Y TRIEDROS PROBLEMAS DESARROLLADOS
Lo que se usa con mayor frecuencia para graficar el ángulo diedro es el teorema de las tres perpendiculares.
Cuando se quiere graficar la distancia entre 2 rectas alabeadas, el plano de proyección de estas alabeadas puede que contenga a una de ellas.
Ángulo diedro Es la figura que resulta de la unión de dos semiplanos que tienen en común la recta de origen y no son coplanares. Donde θ: medida del ángulo diedro Notación ángulo diedro M – L – N p h L M N θ caras del diedro arista Distancia entre rectas alabeadas Sean y rectas alabeadas, tal que AB ⊥ Y AB ⊥ . Entonces AB es la distancia entre y . Criterios para calcular la distancia entre rectas alabeadas La distancia entre los planos paralelos es la distancia entre las rectas alabeadas. La distancia entre las proyecciones es la distancia entre las rectas alabeadas. Planos perpendiculares Son planos perpendiculares cuando la medida del diedro es 90º. θ=90º θ Si los planos son perpendiculares y m es perpendicular a la arista se cumple que m ⊥ N H Z m arista Si Q// P, L 1 ⊂ Q y L 2 ⊂ P Q P d d L 1 L 2 d:distancia entre L 1 y L 2 Si P R: proyección ortogonal de sobre P : proyección ortogonal de sobre P
DEFINICIÓN Es la figura geométrica determinada por la unión de tres o más regiones angulares no coplanares con el vértice en común, de tal manera que dos a dos comparten un lado. ELEMENTOS 𝐷 VÉRTICE: 𝑂 CARAS: Regiones 𝐶 TEOREMA En todo ángulo poliedro convexo se cumple que la suma de las caras es mayor de 0° y menor de 360°. ∢𝐴𝑂𝐵, ∢𝐵𝑂𝐶, ∢𝐶𝑂𝐷, ∢𝐴𝑂𝐷 𝛼 𝜔 Del gráfico: 𝑂 𝜃 𝐵 𝛽 ARISTAS: DIEDROS: 𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶, 𝑂𝐷 𝛼, 𝛽, 𝜃, 𝜔 𝐴 NOTA: A los ángulos poliedros se les denomina según el número de caras, de tres caras ángulo triedro, de cuatro caras, ángulo tetraedro, de cinco caras, ángulo pentaedro y así sucesivamente. ÁNGULO TRIEDRO Del gráfico: Caras: 𝐴 𝒂, 𝒃, 𝒄 A) Según la comparación entre la medida de sus caras Presenta sus tres caras de diferente medida. Aristas: 𝑶𝑨, 𝑶𝑩, 𝑶𝑪 Triedro escaleno 𝒂 ≠ 𝒃 Además: 𝒂 ≠ 𝒄 𝒃 ≠ 𝒄 Diedros: 𝜶, 𝜷, 𝜽, • 𝜶 ≠ 𝜷 • 𝜶 ≠ 𝜽 • 𝜷 ≠ 𝜽 Triedro isósceles 𝐵 𝑂 Triedro 𝐶 equilátero Se cumple: 𝒂 ≠ 𝟗𝟎° 𝒃 ≠ 𝟗𝟎° Se cumple: 𝒄 ≠ 𝟗𝟎° Sea 𝑂 − 𝐴𝐵𝐶 un triedro 𝐴 𝐵 𝑂 Caso 1 𝐶 Caso 2 ⇔ 𝑐𝑜𝑠 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑐 + 𝑠𝑒𝑛 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑐) ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛽 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒂 Resolución: En un ángulo triedro, dos caras miden 45° y el ángulo diedro entre ellas mide 90°. Piden 𝑥 𝐴 𝐵 𝑂 • El problema se presta para aplicar el teorema de coseno. • Entonces: 𝐶 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠45° ∙ 𝑐𝑜𝑠45° + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = ฎ0 1 → 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2 TEOREMAS Particulares Sea 𝑶 − 𝑨𝑩𝑪 un triedro trirrectángulo Si 𝑂𝐻 ⊥▲ 𝑀𝑁𝐿 Sea 𝑶 − 𝑨𝑩𝑪 un triedro isósceles 𝐴 Se cumple: 𝑯: ortocentro de ▲ 𝑴𝑵𝑳 𝑎 𝐵 𝑀 𝑂 𝑏 ℎ 𝑐 𝑁 𝐵 𝑂 𝐻 Si 𝐴𝐻 ⊥ 𝐶𝐴𝑅𝐴𝐵𝑂𝐶 Se cumple: 𝐶 𝐴 Además: 𝟏 𝒉𝟐 = 𝟏 𝒂𝟐 + 𝟏 𝒃𝟐 + 𝐻 𝐿 𝟏 𝐶 𝒄𝟐 𝑶𝑯: Bisectriz del ∢𝑩𝑶𝑪 → 𝛽 = 𝜔 De éstas expresiones se deduce: Resolución: Piden 𝔸𝐴𝐵𝐶 𝑂 𝔸𝐴𝐵𝐶 2 = 𝔸𝑂𝐴𝐵 2 + 𝔸𝑂𝐵𝐶 2 + 𝔸𝑂𝐴𝐶 2 𝔸𝐴𝐵𝐶 2 = 𝕊 2 + 2𝕊 2 + 3𝕊 2 → 𝔸𝐴𝐵𝐶 = 14𝕊2 Resolución: Piden 𝑡𝑎𝑛𝛼 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A • Sabemos que: 𝐴 𝑂𝐻 es bisectriz de ∢𝐵𝑂𝐶 2 2 𝛼 𝐶 𝑂 𝐻 𝑆 𝐵 • Por teorema de las 3 ⊥𝑠: ⊿𝑂𝐻𝑆 y ⊿𝑂𝐴𝑆 son notables • Finalmente en ⊿𝑂𝐴𝐻: 𝐴𝐻 = 2 → 𝑂𝐻 = 2, 𝑂𝑆 = 1, 𝑂𝐴 = 2 POLIEDRO DEFINICIÓN Es el sólido geométrico que esta limitado por cuatro o más regiones poligonales no coplanares . Del gráfico: A los poliedros se les nombra según la cantidad de caras, de 4 caras es tetraedro, de Plano secante Cara Diagonal de la cara 5 caras es pentaedro, y así sucesivamente. Diagonal del poliedro A continuación se muestra un poliedro no convexo. Vértice Arista Sección plana El poliedro mostrado es convexo. Sea: 𝐶: Número de caras 𝑉: Número de vértices 𝐴: Número de aristas Sea: 𝐴: Número de aristas 𝐶1: cantidad de caras de 𝑙1 lados 𝐶2: cantidad de caras de 𝑙2 lados 𝐶3: cantidad de caras de 𝑙3 lados ⋮ ⋮ Aplicación: Un poliedro tiene 1 cara triangular, 6 caras cuadrangulares y 1 cara pentagonal, indique cuántas aristas tiene dicho poliedro. Resolución: Piden 𝐴 Se cumple: 𝐶𝑛: cantidad de caras de 𝑙𝑛 lados Se cumple: Aplicamos el teorema del número de aristas. 1 3 + 6 4 + 1 5 𝐴 = 2 Aplicación: Un poliedro tiene 8 caras y 16 aristas, indique cuántos vértices tiene dicho poliedro. Resolución: Piden 𝑉 Por teorema de Euler: 𝐶 = 8, 𝐴 = 16 → 8 + 𝑉 = 16 + 2 ∴ 𝑽 = 𝟏𝟎 Sea: 𝐶: Número de caras 𝑉: Número de vértices 𝐴: Número de aristas Se cumple: 3 + 24 + 5 32 𝐴 = 2 = 2 ∴ 𝑨 = 𝟏𝟔 Sea: 𝑁𝐷𝑃: Número de diagonales del poliedro 𝑉: Número de vértices 𝐴: Número de aristas Del gráfico mostrado calcule la cantidad de diagonales del poliedro. Resolución: Piden 𝑁𝐷𝑃 Finalmente aplicamos el teorema para calcular el número de diagonales. 10(10 − 1) 𝑆𝑁𝐷𝐶: Suma del número de diagonales de todas las caras Se cumple: Contabilizamos el número de vértices y el de aristas, tenemos: 𝑵𝑫𝑷 = 2 −16 −17 𝑉 = 10 𝐴 = 16 ∴ 𝑵𝑫𝑷 = 𝟏𝟐 Además se observa que las diagonales de las caras son: • 1 cara ▲, diagonales es 0. • 6 caras , diagonales es 2 6 = 12 • 1cara , diagonales es 5 → 𝑆𝑁𝐷𝐶 = 17
