EJERCICIOS DE CUADRILATEROS DESARROLLADOS
Es aquel polígono de cuatro lados. Puede ser convexo o no convexo.
► Los cometas poseen la forma trapezoidal simétrica y se han utilizado durante siglos por diferentes culturas como fuente de entretenimiento y también como fuente de estudio científico, por la estabilidad que ofrece durante su vuelo.
► Cada día sorprende menos que la geometría y el arte estén unidos.
El diseño tiene la influencia del pintor Piet Mondrian. Con sus famosos cuadrados y rectángulos se promueve un ambiente cómodo, relajado y equilibrado.
PARALELOGRAMO DE VARIGNON
Este paralelogramo fue descubierto por el matemático francés Fierre Varígnon (1654-1722) y publicado en 1731 Su contenido indica que en un cuadrilátero, convexo o no convexo, al unir ios pontos medros de sus cuatro lados, se forma el paralelogramo de Varígnon.
Problema 1 : En el romboide ABCD. Calcular “x” Resolución: Como: AB // CD ( paralelo a ), luego: RPTA : ‘‘B’’ Problema 2 : Calcular “x” Resolución: La suma de las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360° RPTA : ‘‘e’’ Problema 3 : Si ABCD es un paralelogramo, calcular “x” Resolución: Como: , entonces: RPTA : ‘‘b’’ Problema 4 : En la figura: , calcular Resolución: Se deduce que: Además: RPTA : ‘‘d’’ PROBLEMA 5 : Calcular “x” en el trapecio : A) 15 B) 18 C) 12 D) 17 E) 19 RESOLUCIÓN: Como las bases de un trapecio, son paralelas , luego completamos los ángulos (por alternos internos). Luego de formarse triángulos isósceles ,
Se llama cuadrilátero, al polígono de 4 lados. Considerando la medida de sus ángulos internos pueden ser convexo o cóncavo. CONVEXO CÓNCAVO Elementos: x 1) Lados: 2) Vértices: A, B, C y D 3) Angulos Interiores: X, Y, Z, W 4) Angulos Exteriores: , , , . Nota 1. En todo cuadrilátero, la suma de las medidas de sus ángulos es 360º. CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS CONVEXOS Atendiendo al paralelismo de sus lados, se clasifican en tres: Paralelogramos, Trapecios y Trapezoides. A) PARALELOGRAMOS. Son aquellos que tienen sus lados opuestos paralelos. Se clasifican en: A1. ROMBO. Llamado también Losange. Es un paralelogramo que tiene sus 4 lados congruentes. Rombo o Losange A2. Romboide. Es un paralelogramo. A.3 Rectángulo. Llamado también Cuadrilongo. Es un paralelogramo que tiene sus 4 ángulos rectos A.4 Cuadrado. Es un paralelogramo que tiene sus 4 ángulos rectos y sus 4 lados congruentes. (Polígono Regular de 4 lados). Nota 2. Cuando en un problema se menciona paralelogramo, se dibuja como un romboide. Nota 3 El Cuadrado es un rombo y también es rectángulo. Nota 4 De todos los rectángulos de igual perímetro, el que tiene más área es aquel cuya diferencia de lados es menor. Por lo tanto el que tiene área máxima es el cuadrado. PROPIEDADES DEL PARALELOGRAMO 1. En todo paralelogramo, los lados opuestos son congruentes. 2. En todo paralelogramo, los ángulos opuestos miden iguales y los ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios. 3. En todo paralelogramo las diagonales se bisecan mutuamente. (bisecan: se cortan en su punto medio). 4. Las diagonales de un rectángulo son congruentes (miden igual). 5. Las diagonales de un rectángulo se interceptan en su punto medio, determinando 4 segmentos de igual longitud. OA = OB = OC = OD 6. Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre si y bisectrices de sus ángulos. BD : Diagonal mayor AC : Diagonal menor x = 90º AO = OC BO = OD 7. Las diagonales de un cuadrado son congruentes, perpendiculares y bisectrices de sus ángulos. X = 90º AC = BD B. TRAPECIOS. Son cuadriláteros que tienen dos lados opuestos paralelos y se les llama base mayor y base menor. Se sub-clasifican en 3: B.1 Trapecio escaleno. Es aquel que tiene sus lados no paralelos desiguales. B.2 Trapecio isósceles: Es aquel que tiene sus lados no paralelos congruentes (miden igual). B.3 Trapecio Rectángulo. Es aquel que tiene dos ángulos rectos. Nota 5. Cuando se dice altura del trapecio, se sobrentiende que es la distancia entre las bases. Nota 6. Mediana del trapecio: Es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos. Nota 7. Los ángulos adyacentes a una misma base de un trapecio isósceles y los ángulos opuestos son suplementarios. PROPIEDADES DEL TRAPECIO I) MEDIANA DE UN TRAPECIO: MN AM=MB, CN=ND MN = Demostración: 1. Se traza BN cuya prolongación intercepta a la prolongación de AD en E. 2. BNC NDE (caso ALA) BC = DE = b BN = NE 3. ABE Teorema de la base media MN = MN = l.q.q.d. II) SEGMENTO QUE UNE LOS PUNTOS MEDIOS DE LAS DIAGONALES DEL TRAPECIO: PQ Demostración: 1) Se traza CQ cuya prolongación intercepta a AD en E. 2) BQC QED (ALA) BC = ED = b CQ = QE 3) ABE Teorema de la base media PQ = PQ = l.q.q.d. C. TRAPEZOIDES Son cuadriláteros que no tienen ningún lado paralelo a otro. Existen dos clases: C.1 Trapezoide Simétrico: Si una de sus diagonales es mediatriz de la otra. La figura es simétrico respecto al eje BD (lo que ven al lado izquierdo de BD es igual a lo que ven al lado derecho). Trapezoide Simétrico o Bisosceles AB = BC AD = CD c.2 Trapezoide asimétrico Es aquel cuadrilátero que no tiene ninguna simetría. PROPIEDADES DEL TRAPEZOIDE I) En todo trapezoide, al unir los puntos medios de los lados consecutivos, se forma un paralelogramo cuyo perímetro es igual a la suma de las diagonales de dicho trapezoide. CONVEXO CÓNCAVO 1) MNPQ es paralelogramo cuyo perímetro es igual a la suma de las medidas de las diagonales. Perímetro (MNPQ) = (AC + BD) 2) El área del paralelogramo MNPQ es igual a la mitad del área del cuadrilátero ABCD. 3) En el cuadrilátero convexo se cumple que: Area(MBN)+Area(PDQ)=Area(AMQ)+Area(PCN) 4) En el cuadrilátero cóncavo se cumple que: Ara(MBN)-Area(PDQ)=Area (AMQ)+Area (PCN) II) X = Demostración: 1) ABCD 2 + 2 + m + m = 360º Mitad ++ =180º (I) 2) BEC + + X = 180º (II) 3) II – I + + X = + + X = l.q.q.d. III Demostración: 1) BADP Z = + m + (I) 2) BCDP Z++m += 360º (II) 3) I + II 2Z+ + m + = + m + + 360º 2Z + m - m = 360º Mitad Z+ = 180º (III) 4) X + Z = 180º (IV) 5) IV=III X+Z=Z+ X = l.q.q.d. Demostración 1) EBCD = X + + m I 2) X + = m + II 3) I en II X + X + + m = m + 2X = m - m X = l.q.q.d. EJERCICIOS 1. Si la medida del ángulo externo de un polígono regular es “k” veces el interior. Calcular “k” (k Z). A) 1 y 3 B) 1 y 2 C) 1 y 4 D) 2 y 3 E) 2 y 4 2. Es un polígono regular ABCDE... la m ACE =144°. ¿Cuántas diagonales medias tiene? A) 100 B) 150 C) 160 D) 170 E) 190 3. Los ángulos interiores B, C y D de un pentágono convexo ABCDE miden 70°, 160° y 50° respectivamente. Las bisectrices interiores de los ángulos BAE y AED, forman un ángulo que mide: A) 30° B) 35° C)40° D) 45° E) 50° 4. En un hexágono equiángulo ABCDEF, BC = 2, DE = 1, CD = 4 y AF = 3. Hallar su perímetro. A) 10 B) 15 C) 18 D) 24 E) 28 5. La diferencia del número de diagonales de cierto polígono y el número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 8. ¿Cuántos lados tiene el polígono? A) 4 B) 5 C) 8 D) 12 E) 18 6. Las medidas de los ángulos interiores de dos polígonos convexos regulares se diferencian en 20° y las medidas de los ángulos exteriores suman 100°. ¿Cuántas diagonales tienen el polígono de mayor número de lados? A) 27 B) 18 C) 32 D) 40 E) 52 7. Se tienen dos polígonos regulares cuyos números de diagonales se diferencias en 342 y cuyas medidas de sus ángulos, centrales están en la relación de 2 a 3. Hallar la diferencia de las medidas de sus ángulos interiores. A) 5° B) 25° C)10° D) 40° E) 50° 8. El perímetro de un octágono equiángulo ABCDEFGH es , dicho polígono tiene dos tipos diferentes de lados los cuales se presentan en forma alternada. Hallar . A) B) C) D) E) 9. Calcular el ángulo central de un polígono regular en donde al disminuir el número de lados en 2 máximos números de diagonales disminuye en 15. A) 30° B) 45° C)36° D) 70° E) 90° 10. En un trapecio ABCD; m A=m B=90; las bisectrices interiores de los ángulos C y D se intersecan en P. Calcular AB, si la distancia desde el punto P En un rombo ABCD, se traza , tal que AH = HD, calcular m C. A)30º B)45º C)40º D)60º E)75º 12. En un trapecio ABCD se sabe que: m < B = 2m < D; BC = 4; AB = 5. Calcular la medida de la base mayor . A)6 B)7 C)8 D)9 E)10 13. En un romboide ABCD se traza la bisectriz (M en ). Si AB = 6, calcular la medida del segmento que une los puntos medios de y . A)2 B)3 C)4 D)5 E)2 POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS 1. Calcule el número de diagonales medias de un polígono, en donde el número de diagonales es el cuádruple del número de ángulos internos. A) 20 B) 27 C) 35 D) 44 E) 55 2. Se tienen los polígonos regulares ABCDE y ABPQRSTU, ambos en un mismo semiplano respecto a , Calcule: . A) 72º B) 45º C) 20º D) 24º E) 27º 3. Un icoságono regular ABC… y un pentadecágono regular ABMN… están ubicados en distintos semiplanos respecto a Calcule: A) 72º B) 36º C) 24º D) 69º E) 60º 4. 9 es un número de diagonales que se pueden trazar desde 5 vértices consecutivos de un polígono regular de “n” lados. Calcule “n”. A) 5 lados B)7 lados C) 6 lados D) 8 lados E) 9 lados 5. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de un Polígono Regular ABCDE…, de “n” lados; si A) 540º B) 720º C) 900º D) 1080º E) 1260º 6. En un decágono convexo, calcule el máximo número de ángulos internos de medida 100º. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 7. Calcule el perímetro de un octógono equiángulo ABCDEFGH, AB=EF= ; , 3, y GF=8. A) B) C) D) E) 8. La suma de las medidas de cinco ángulos internos de un polígono convexo es 760º.Calcule la suma de las medidas de los ángulos externos correspondientes a los vértices restantes. A) 190º B) 200º C) 210º D) 220º E) 230º 9. En un polígono regular cuyo semi-perímetro es p, el número que expresa su perímetro es el igual al número de diagonales. Además la medida del ángulo interior es p veces la medida del ángulo exterior. ¿Cuánto mide el lado del polígono regular? A) B) C) D) E)1 10. Si un polígono de n lados tuviera (n-3) lados, tendría (n+3) diagonales menos. ¿Qué polígono es? A) Triángulo B) Cuadrilátero C) Pentágono D) Hexágono E) Octógono 11. Por el vértice B de un triángulo ABC, se traza una recta exterior. Calcule la distancia del punto medio de la mediana BM a la recta, sabiendo que las distancias de los vértices A y C a dicha recta miden 8 y 12 respectivamente. A)2 B) 10 C) 3 D)5 E) 7 12. Las distancias de los vértices A y B de un triángulo ABC a una recta que pasa por su baricentro miden 3 y 4 respectivamente; calcule la distancia del vértice C a dicha recta. La recta intercepta a y . A)7 B)5 C) 3 D) 8 E)1 13. En un trapecio ABCD, P y Q son puntos medios de y ; = , .La prolongación de intercepta a en G, BC=a, AD=50, calcule 2EF+GD. A) B) C) D) 50 E) 40 14. En un trapecio ABCD , las bisectrices interiores de los ángulos A y B se interceptan en P y las bisectrices interiores de los ángulos C y D se interceptan en Q. Calcule la longitud del segmento PQ si AB=6 , BC=4, CD=8, AD=10 A) 1 B) C) 0 D) 2 E) 15. En un trapecio ABCD, y se ubica el punto medio M de B, tal que y se traza . Si , y toma su máximo valor entero, calcule . A) 37º B) 53º C) D) E) 30º 16. En un triángulo ABC; AB=5 y BC=30; Calcule la distancia del punto medio de hacia la bisectriz del ángulo ABC; si . A) 10 B)8 C)6 D) 4 E) 12 17. Calcule la medida del ángulo que forman las diagonales de un trapecio isósceles; si una diagonales el doble de la base media. A) 60º B) 45º C) 30º D) 53º E) 37º 18. Calcule la longitud de la base media de un trapecio isósceles, si las diagonales forman 106º y tienen por longitud 5m c/u. A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 5 19. En un cuadrado ABCD, de lado 6, en y se ubican los puntos M y N, respectivamente, tal que CM=MD. Si la . Calcule MN. A) 3 B)4 C) D) E) 5 20. Un trapecio rectángulo ABCD, es recto en A y B. Si: y BC =b. Calcule AC. A) a+b B) C) 2a-b D) a-b E) 2a+b
