Razonamiento lógico matemático problemas resueltos de secundaria y pre universidad

RAZONES Y PROPORCIONES TEORÍA Y EJEMPLOS

La razón o relación geométrica es de mayor aplicación en la vida cotidiana, por ello cuando en el texto de un problema sólo se indique razón o relación se entenderá que es la geométrica. 
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  • Ejemplo: La relación entre los pesos de Ana y Eva es de 5 a 7 respectivamente. Esto quiere decir que: ii) Una razón no cambia de valor si el antecedente y consecuente se multiplican o dividen por un mismo número. Así cualquier razón de números racionales se puede expresar de tal manera que ambos términos sean enteros sin ningun factor común (excepto la unidad). Ejemplos: • • PROPORCIÓN Es la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase. En consecuencia se tiene dos clases de proporciones. 1) Proporción Aritmética Se forma al igualar dos razones aritméticas. Ejemplo: Sean los siguientes datos: Comprobando mediante la sustracción Interpretación La velocidad de A excede a la velocidad de B, tanto como la velocidad de C excede a la velocidad de D además, ubicando los términos iguales en un sólo miembro de la igualdad se tiene: 20m/s + 15m/s = 18m/s+17m/s. 35m/s = 35m/s De aquí se tiene el principio fundamental de una proporción aritmética: Dependiendo de los términos medios se tendra: a. Proporción Aritmética Discreta Cuando los términos medios son diferentes. Ejemplo: b. Proporción Aritmética Continua Cuando los términos medios son iguales. Ejemplo: Ejemplo: Calcule A+B+C sabiendo que: A ® Cuarta diferencial de 31; 24 y 18 B ® Media diferencial de 31 y 17 C ® Tercera diferencial de 21 y 18 2. Proporción Geométrica Se forma al igual dos razones geométricas. Ejemplo: Sean los siguientes datos: Comparando mediante la división Donde: 18 y 10 son los extremos 12 y 15 son los términos medios. Interpretación: La edad de A es a la edad de B, tanto como la edad de C es a la edad de D. Ubicando los términos iguales en un solo miembro de la igualdad se tiene: De aquí se tiene el principio fundamental de una proporción geométrica. Dependiendo de los valores de los términos medios se tendrá: a. Proporción Geométrica Discreta Cuando los valores de los términos medios son diferentes. Ejemplo: Formando la proporción: b. Proporción Geométrica Contínua Cuando los valores de los términos medios son iguales. Ejemplo: Formando la proporción Ejemplo: Halle M+N+P sabiendo que: M ® cuarta proporcional de 10; 25 y 16 N ® media proporcional de 36 y 81 P ® tercera proporcional de 28 y 42 PROPIEDADES DE UNA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Al realizar operaciones de adición y sustracción con los términos de una razón en la verificación, estas mismas operaciones se deben realizar con los términos de la otra razón para que la igualdad se mantenga. Ejemplo: En la proporción: Ejemplo: Sabiendo que: Calcule 1. La razón de “p” es a “q” como 2 es a 3 y la razón de “r” es a “s” como 3 es a 4. ¿Cuál es la razón de “ps” respecto de “qr”? Rpta.: 2. En 1984 la razón entre las edades de Elí y su padre era . Si Elí nació cuando su padre tenía 20 años, hallar la razón de sus edades en el año 1989. Rpta.: 3. Dos números están en la relación de , pero agregando 150 al primero y 45 al segundo, la nueva relación es de 2 a 1. Hallar la suma de los números. Rpta.: 4. La suma de 3 números es 1 425, la razón del primero y el segundo es y la diferencia de los mismos es 600. ¿Cuál es el tercero? Rpta.: 5. La suma de 3 números es igual a 3 520. Si la suma del primero y el segundo es a la suma del segundo y tercero como 5 es a 4, calcular los números si el primero excede al tercero en 440 unidades. Dar como respuesta el menor de ellos. Rpta.: 6. Ana comparte el agua de su balde con Rosa y ésta con Lucy. Si lo que le dio Ana a Rosa es a lo que no le dio como 4 es a 5 y lo que dio Rosa a Lucy es a lo que no le dio coom 5 es a 4, ¿en qué relación se encuentra lo que no le dio Ana a Rosa y lo que recibió Lucy. Rpta.: 7. El número de vagones que lleva un tren “A” equivale a los de los que lleva un tren “B” y el que lleva un tren “C” equivale a los de un tren “D”. Entre “A” y “B” llevan tantos vagones como los otros dos. Si el número de vagones de cada tren no puede pasar de 60, ¿cuántos vagones lleva cada tren? Rpta.: 8. En un corral hay “n” aves entre patos y gallinas. Si el número de patos es a “n” como 5 es a 12 y la diferencia entre el número de patos y el número de gallinas es 18, ¿cuál será la relación entre patos y gallinas si se mueren 13 gallinas? Rpta.: 9. En una partida de billar de 100 carambolas el jugador “A” le da de ventaja al jugador “B” 10 carambolas; “B” le da al jugador “C” 20 carambolas de ventaja. ¿Cuánto de ventaja le debe dar el jugador “A” al jugador “C”? Rpta.: 10. En una proporicón geométrica continua la suma de los términos extremos es 20 y su diferencia 16. ¿Cuál es la media proporcional? Rpta.: 1. Determinar una proporción geométrica continua sabiendo que el producto de sus cuatro términos es 312 y además uno de sus extremos es 9 veces el otro. Dar como respuesta la suma de sus términos. A) 100 B) 121 C) 144 D) 169 E) 196 2. En una proporción geométrica de razón 3 la suma de los términos de la segunda razón es menor que la suma de los términos de la primera razón en 56. Determinar la diferencia de antecedentes. A) 62 B) 64 C) 66 D) 68 E) 42 3. Si las razones aritméticas de los términos de la primera y segunda razón de una proporción geométrica son 8 y 32 respectivamente, determinar en qué relación estarían la suma y la diferencia de los consecuentes de dicha proporción. A) B) C) D) E) 4. Con 4 enteros diferentes de la unidad se forma una proporicón geométrica cuyo producto de extremos es 195 y la diferencia de los medios es 2. Calcular la suma de los medios. A) 28 B) 18 C) 54 D) 44 E) 52 5. Sea ; “a” y “d” mínimos, además: a2 + d2 + bc = 61; b > 1, donde “a”, “b”, “c” y “d” son enteros positivos. Hallar el máximo valor de: E = a +c. A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24 6. Cuatro enteros diferentes forman una proporicón geométrica; sabiendo que la suma de los 4 términos es 30 y que el producto de los términos de la primera razón es 84, determinar el términos menor de la proporción. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 7. Si: y a2 + b2 + c2 + d2 = 221, siendo “a”, “b”, “c” y “d” enteros positivos, calcular: (a + b + c + d). A) 45 B) 40 C) 35 D) 30 E) 25 8. La suma de los términos extremos de una proporción geométrica es 63. ¿Cuál es la suma de sus medios si cuando le sumamos un mismo número positivo a todos los términos siguen formando una proporción geométrica? A) 60 B) 61 C) 62 D) 63 E) 64 9. Sea la proporción: Calcule el valor de “k”. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 10. Sabiendo que la media proporconal de 2 y 32 es a la tercera proporcional de “a” y 24 como 1 es a 2, hallar “a”. A) 18 B) 24 C) 36 D) 48 E) 30 SERIE DE RAZONES Relacionar razones geométricas para obtener la serie de razones geométricas equivalentes. Obtener las propiedades que presentan las series de razones geométricas equivalentes. Aplicar las propiedades en la resolución de los problemas que se presentan en la vida cotidiana. INTRODUCCIÓN Dos móviles parten en el mismo instante, el primero del punto A y el segundo del punto B, y marchan el uno hacia el otro con movimiento uniforme, sobre la recta AB. Cuando se encuentran en M, el 1° ha recorrido 30 metros más que el 2°. Cada uno de ellos prosigue su camino; el 1° tarda 4 minutos en recorrer la parte MB y el 2° 9 en recorrer la parte MA. Se pide: 1° La distancia AB. 2° Las velocidades de cada móvil. SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Con las siguientes razones: Como todas ellas tienen el mismo valor numérico, se podrán igualar y de ese modo se formará la serie de razones geométricas equivalentes Además se tiene que: 6 = 2(3) 15 = 5(3) 12 = 4(3) 21 = 7(3) Del cual se deduce el siguiente principio fundamental: Al efectuar la adición de las igualdades se tiene: 6+15+12+21=3(2+5+4+7) Al multiplicar los términos de las igualdades en forma ordenada se tiene: 6151221=254734 Ejemplo: Sea la serie De lo anterior: En general, para “n” razones de igual valor numérico: Principio fundamental: Propiedades 1. Textualmente: 2. Textualmente: R: número de razones consideradas. En la siguiente serie de razones geométricas equivalentes: se observa que el primer consecuente es igual al segundo antecedente, el segundo consecuente igual al tercer antecedente, a este tipo de serie se le denomina serie de razones geométricas continuas equivalentes. Ejemplo: En general: Ejemplo: Sabiendo que Calcule: 5a + 2b – c Ejemplo: Dado que:

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