Razonamiento lógico matemático problemas resueltos de secundaria y pre universidad

RAZONES Y PROPORCIONES PROBLEMAS RESUELTOS

razones y proporciones CANTIDAD: Es el resultado de la medición del estado de una magnitud escalar. Ejemplo: La altura de una torre es 40 metros. 
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  • Magnitud : Longitud Cantidad : 40 metros Se llama magnitud a todo aquello que puede ser medido o cuantificado; además, puede definirse la igualdad y la suma de sus diversos estados. RAZÓN: Es la comparación que existe entre dos cantidades de una magnitud, mediante las operaciones de sustracción y división. RAZÓN ARITMÉTICA: Ejemplo: Dos toneles contienen 30 litros y 18 litros respectivamente, al comparar sus volúmenes. RAZÓN GEOMÉTRICA: Ejemplo: Se comparan dos terrenos, cuyas superficies son: y y así obtenemos: En GENERAL : Sean a y b dos cantidades: a : antecedente b : consecuente d y k : valores de las razones PROPORCIÓN Es la igualdad de dos razones de una misma especie. PROPORCIÓN ARITMÉTICA Ejemplo: Cuatro amigos tienen las siguientes edades : 26 años, 17 años, 22 años y 13 años; podemos decir : 26 años - 17 años = 9 años 22 años - 13 años = 9 años Se puede establecer la siguiente igualdad: A la cual se le llama proporción aritmética. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA: Ejemplo: Cuatro terrenos tienen las siguientes superficies : ; ; y ; podemos decir : Se puede establecer la siguiente igualdad: A la cual se le llama proporción geométrica "9 es a 12, como 15 es a 20" De donde: "Cuando los medios son diferentes, la proporción se llama discreta, pero cuando los medios son iguales se llama continua" PROPIEDADES DE PROPORCIONES Sea se cumple: I) II) III) SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Sean: De donde: Se cumple las siguientes propiedades: I) II) III) Donde "n" nos indica el número de razones. Ejemplo: Sea la siguiente serie: se cumple: I) II) simplificando III) PROBLEMA 1 : Lo que cobra y gasta un profesor suman 600. Lo que gasta y lo que cobra están en relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 3 a 5? A) 16 B) 24 C) 32 D) 15 E) 20 resolución 38: Consideremos lo siguiente: Luego: Después de resolver se obtiene: x=24 RPTA : ‘‘b’’ problema 123 : Si , y e+f=56, hallar el valor de ‘‘a’’. A) 42 B) 35 C) 14 D) 21 E) 28 resolución: despejando luego rpta : ‘‘D’’ PROBLEMA 2 : Si : ; halle (r+c) A) 12 B) 10 C) 8 D) 14 E) 20 RESOLUCIÓN: Por propiedad: Entonces: RPTA : ‘‘B’’ problema 3 : El sueldo de Luis es al sueldo de Julio como 5 es a 3. Cierto mes por equivocación Julio recibió S/.720 más , con lo cual recibió la misma cantidad que Luis. ¿Cuánto es el sueldo de Luis? A) S/. 1080 B) S/. 1200 C) S/. 1900 D) S/. 1700 E) S/. 1800 resolución: Según la condición inicial sueldo de Luis = 5k sueldo de Julio = 3k Pero como hubo una equivocación, entonces: nuevo sueldo de Julio=3k+720 Por dato: 3k+720= 5k 360 = k el sueldo de Luis es 5k=S/.1800 rpta : ‘‘e’’ PROBLEMA 4 : En una proporción geométrica la suma de los términos extremos es 20 y su diferencia 16. ¿Cuál es su media proporcional? A) 9 B) 6 C) 3 D) 2 E) 7 resolución: Sea la proporción: Como: a+d=20 y a – d=16, obtenemos: a=18 y d=2 estos valores en (I): RPTA : ‘‘b’’ PROBLEMA 5 : Determinar tres cantidades que sean entre sí como 4 ; 5 y 8 y que sumen 850. RESolución: Se puede escribir así: Se deduce: A = 4×50 = 200 B = 5×50 = 250 C = 8×50 = 400 Rpta : Las cantidades son 200; 250 y 400 PROBLEMA 6 : La razón de dos números es 3/8 y su suma es 2 497. Encontrar el menor de los dos números. A) 723 B) 681 C) 288 D)808 E) 729 resolución: Sean a y b los números podemos establecer por dato: Sumando 1 a los dos términos de (I) y operando: pero por dato: a+b=2497 luego: b=1 816 y a=681 RPTA : ‘‘b’’ problema 7 : A una fiesta concurren 360 personas , entre hombres y mujeres , asistiendo 5 hombres por cada 4 mujeres; después de 3 horas se retíran igual número de hombres y de mujeres ; quedan entonces 3 hombres por cada 2 mujeres. ¿Cuántas parejas formadas por un hombre y una mujer se retiraron? A) 40 B) 80 C) 60 D) 30 E) 20 resolución: Según las condiciones, se tiene luego, se retiran x hombres y x mujeres se retiraron 80 parejas. rpta : ‘‘b’’ PROBLEMA 8 : La edad de Pablo es a la edad de María como 9 es a 7. Si dentro de 5 años el doble de la edad de Pablo y el triple de la edad de María sumarían 103 años, determinar el valor de la razón aritmética de las edades actuales de Pablo y María. A) 3 años B) 4 años C) 5 años D) 6 años E) 7 años resolución: Dentro de 5 años, las edades serían: (9k+5); (7k+5) 2(9k+5)+3(7k+5)=103 18k+10+21k+15=103 39k=103–25=78 Se obtiene: k=2 ; P=18 ; M=14 Razón aritmética: 18 – 14=4 RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 9: Sea: Calcule: a+b+c, si c – a=20 A) 80 B) 64 C) 96 D) 120 E) 100 resolución : Sumando antecedentes y consecuentes de la serie: Restando convenientemente: Sacando y ordenando: a=3(4)=12; b=5(4)=20; c=8(4)=32 a+b+c=12+20+32=64 RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 10: Si: donde a; d ; b y c forman una proporción aritmética, determine el mayor promedio del primer antecedente y el quinto término. A)18 B) 79 C) 36 D) 12 E)40 resolución: a, d, b y c forman una proporción aritmética a – d= b – ca+ c= b+ d ...(I) De la serie: Mayor promedio <> promedio Aritmético Primer antecedente: a quinto término: c RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 11 : En una serie continua, la suma de los 3 antecedentes es 588 y el producto de 2 de las razones es 16. Halle el mayor de los términos que ocupan lugar par. A) 110 B) 112 C)116 D) 130 E) 140 resolución: producto de 2 razones De la serie (I): c= 4d ; b= 16d ; a = 64d Términos de lugar par: RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 12 : Si: Además: Calcular: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 resolución: Se deduce que: Identificando: k2=16k=4 De la serie: RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 13 : Sea: Además: a+b=120 y c+d=270. Determinar: (b× c) A) 6 667 B) 6 892 C) 7 432 D) 7 776 E) 7 999 resolución: Reemplazando en (II): Luego: RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 14 : En una serie de 5 razones geométricas equivalentes continuas, el segundo antecedente es excedido en 70 por el cuarto consecuente. Determine la suma de los términos no extremos, si además se sabe que las razones suma 5/2. A) 300 B) 315 C) 320 D) 340 E) 350 resolución: Las razones suman 5/2: Se pide la suma de los términos no extremos RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 15: Si: además: a×b×c=240. Determinar: (a+b+c) A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24 resolución: Efectuando se obtiene: Donde: a=2k, b=3k , c=5k Además: Luego: a=4 ; b=6 ; c=10 a+b+c=20 RPTA : ‘‘C’’ PROBLEMA 16 : Si: Además: Entonces el valor de es: A) 25 B) 16/25 C) 15 D) 4 E) 18 resolución: De: Se observa: Luego: En la expresión: RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 17 : Si la media proporcional entra a y b es además 12 y la tercera proporcional entre a y b es 96, Determinar: (a2 + b) A) 60 B) 40 C) 80 D) 25 E) 90 resolución: Media proporcional (a ; b)=12 Tercera proporcional (a:b)=96 Reemplazando (II) en (I): Se obtiene b= 24 ; a=6 a2+b=62+24=60 RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 18 : En una proporción aritmética, los términos extremos son entre sí como 4 es a 3 y los términos medios son como 5 es a 9. Calcule la suma de antecedentes, si se diferencian en 18. A) 306 B) 326 C) 126 D) 186 E) 94 resolución: Proporción aritmética: a – b=c – d extremos: a, d medios: b, c Del problema: Se obtiene: a=4(2n)=8n ; b=5n c=9n ; d=3(2n)=6n Diferencia de antecedentes: c–a= 9n–8n=18 n=18 Se pide: c+a= 9n+8n=17(18)= 306 RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 19: En una proporción el producto de términos extremos es 30. Determinar la suma mínima de extremos, si la suma de medios es 17. Asuma que todos los términos de la proporción son enteros y diferentes. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 resolución: En la proporción geométrica: Datos: a×d=30=b×c También: suma de medios=17 Suma mínina de extremos: RPTA : ‘‘C’’ PROBLEMA 20 : Si las razones aritméticas de los términos de la primera y segunda razón de una proporción son 8 y 24, respectivamente, determine en qué relación estarían la suma y la diferencia de los consecuentes de dicha proporción. resolución: Sea la proporción: De la proporción se forma: Se desea hallar: RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 21 : Si el primer y último término de una proporción aritmética continua están en la relación de 5 a 1, además su media diferencial es igual a la cuarta proporcional de 6; 10 y 9, halle la suma de los términos diferentes de dicha proporción aritmética. A) 40 B) 45 C) 50 D) 52 E) 60 resolución: Proporción aritmética continua: media diferencial=cuarta proporcional de(6;10;9) Luego: a = 5(5) = 25; b = 3(5) = 15; c= 5 Se pide: a+b+c = 25+15+5 = 45 RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 22: Si: Además: x=2z Calcular: ‘‘y’’ A) 19 B) 4 C) 31 D) 23 E) 16 Resolución: Descomponiendo y simplificando resultará: Ahora coloquemos x=2z: De: RPTA: “B” PROBLEMA 23: En una granja, donde el número de pavos, patos y gallinas está en la relación de 13; 19 y 23, ocurre una epidemia cuya consecuencia fue la muerte de la quinta parte de los animales, Si los que murieron de cada especie son entre sí como 2; 11 y 9, respectivamente, determinar cual será la relación entre los que quedaron vivos. A) 19 ; 20 y 23 B) 24 ; 27 y 37 C) 15 ;17 y 29 D) 15 ; 45 y 37 E) 37 ; 45 y 50 resolución: Las cantidades de cada tipo de animales son a (pavos), b (patos), c (gallinas): Total inicial: a+b+c=55k Las cantidades de animales muertos son: m, n y p Total de animales muertos: m+n+p=22q Pero: # muertos=# animales inicial Cantidades iniciales: a=26q , b=38q , c=46q murieron: m=2q , n=11q , p=9q # quedarón vivos: 24 ; 27 y 37 RPTA: ‘‘B’’ PROBLEMA 23 : Si en una relación geométrica entre dos números cuya suma es 65, al menor se le suma 17 y al mayor se le resta 17 , la relación primitiva se invierte. ¿Cuál es el menor de dicho número? A) 19 B) 18 C) 31 D) 23 E) 24 RESolución: Sean ‘‘a’’ y ‘‘b’’ los números, donde a>b a + b = 65 ... (I) La relación primitiva es: Por dato ocurre lo siguiente: Sumando 1 a los dos miembros: de donde resulta: a – b=17 ... (II) Resolviendo el sistema de las 2 ecuaciones (I) y (II), se obtiene finalmente: a=41 y b=24 RPTA : ‘‘e’’ PROBLEMA 24 : El radio de la Luna es los 3/11 del radio terrestre y el diámetro del Sol es igual a 108 diámetros terrestres. ¿Cuál es la razón geométrica entre los radios de la Luna y el Sol? A) 2/37 B) 1/350 C) 2/367 D) 5/87 E) 1/396 resolución: Radio de la Luna = RL Radio del Sol = RS Radio de la Tierra= RT Multiplicando (I) por (II) tenemos: RPTA : ‘‘e’’ PROBLEMA 25 : Dos amigos parten simultáneamente al encuentro uno del otro con velocidades que están en relación de 7 a 5. Si cuando están a 168 m de distancia, antes del encuentro, duplican su velocidad; calcule qué distancia se alejó del punto de encuentro el más lento en el instante en que el otro cruza el punto en el cual ambos aumentaron sus velocidades. A) 30 m B) 40 m C) 50 m D) 60 m E) 70 m resolución: Como cada uno duplica su velocidad , la relación de sus velocidades seguirá siendo de 7 a 5. La relación de velocidades será la misma que la relación de distancias: AC=7K , CB=5K (más veloz) (menos veloz) El más veloz recorre el tramo CB, de 70m, manteniéndose la relación de velocidades y distancias se tendrá: RPTA : ‘‘C’’ PROBLEMA 26: ‘‘p’’ es el término central de una proporción geométrica continua, cuyos extremos son ‘‘m’’ y ‘‘n’’. Determinar ‘‘p’’. A) 9 B) 6 C) 3 D) 2 E) 7 resolución: Como p es el término central, podemos establecer que: Por dato: (I) en (II): RPTA : ‘‘b’’ PROBLEMA 27 : En una serie de razones geométricas iguales , los antecedentes son 2; 3; 7 y 11, mientras que el producto de los consecuentes es 37 422. ¿Cuál relación entre consecuente y antecedente? A) 9 B) 6 C) 3 D) 2 E) 7 RESolución: La serie buscada es de la forma: Aplicando la propiedad adecuada : Entonces RPTA : ‘‘c’’ PROBLEMA 28 : Sabiendo que: Determinar : A) 8/13 B) 17/83 C)107/217 D) 104/171 E) 7/9 resolución: Del dato: Reemplazando (I) en E: Efectuando operaciones y simplificando: RPTA : ‘‘d’’ PROBLEMA 29 : Dos ciclistas parten en el mismo instante, uno de A y otro de B, y marchan al encuentro uno hacia el otro. Si la velocidad del primero es mayor que la del segundo en 4 km por hora, determinar dichas velocidades si la razón de los espacios recorridos por ellos, hasta el instante del encuentro es de 6/5. resolución: Graficamente: Por dato: De donde: Por propiedad de proporciones: Pero, por datos: Del mismo modo: Rpta : V1=24 km/h ; V2=20 km/h PROBLEMA 30 : Dos cantidades son proporcionales a Si su suma es el número . ¿Cuáles son dichas cantidades, conforme a los siguiente datos aproximados? resolución: Sea la proporción: Por propiedad: De donde: Por datos: Reemplazando estos valores en : A = 2,82 B = 3,46 Rpta : 2,82 y 3,46 PROBLEMA 31 : Si: y además: a+c=4. Hallar el valor de k A) 1/5 B) 1/9 C) 1/12 D) 3/8 E) 1/25 resolución: También se advierte que: Sumando estos últimos: Dividiendo (I)÷(II), miembro a miembro : Sustituyendo los datos: la última expresión al cuadrado: RPTA : ‘‘E’’ PROBLEMA 32 : Si: Hallar: A) 2k B) 3k C) k D) 1 E) k2 resolución: A = x × k B = y × k C = z × k Reemplazando estos valores en E: RPTA : ‘‘c’’ PROBLEMA 33 : Si: Hallar: A) k B) 3k C) k3 D) 1 E) k2 resolución: De la proporción enunciada: A=Bk y C=Dk Sustituyendo en E: RPTA : ‘‘d’’ PROBLEMA 34 : Sabiendo que: Hallar: (a+b) A) 7 B) 9 C) 4 D) 11 E) 15 resolución: Descomponiendo polinomicamente, y teniendo en cuenta que el complemento aritmético de es ; se tiene: Por propiedad, el producto de medios es igual producto de extremos. RPTA : ‘‘c’’ PROBLEMA 35 : El corredor A da a B una ventaja de 20 metros en una carrera de 100 m. En otra carrera de 100 m, el corredor B da a C 30 m de ventaja. ¿Qué ventaja deberá dar A a C en una carrera de 100 m? A) 213 m B) 246 m C) 54 m D) 72 m E) 44 m resolución: Relacionamos los recorridos: Multiplicando (I)×(II): Þ A debe dar a C 44 m de ventaja. RPTA : ‘‘e’’ PROBLEMA 36 : Hallar dos números enteros cuya suma sea 435 sabiendo que su razón se invierte cuando se le resta 65 al mayor y se le agrega 65 al menor. resolución: Sea a > b Por datos: a+b=435 ......(I) De (II) por propiedad: Simplificando y operando: a – b=65...(III) De (I) y (III): Rpta : 250 y 185 La razón aritmética de dos números es 12. si uno de ellos es el cuádruple del otro, hallar la suma de dichos números. A) 18 B) 20 C) 24 D) 30 E) 32 La razón entre 2 números es 3/5. Determinar la diferencia entre ellos, sabiendo que su suma es 72. A) 9 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24 Dos números están en la razón de 3 es a 2. Si la suma de dichos números excede a la diferencia de los mismos en 80, hallar el mayor de los números. A) 45 B) 60 C) 75 D) 90 E)120 A una fiesta asistieron 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiran 20 parejas. ¿Cuál es la razón entre el número de mujeres y el número de hombres que se quedan en la fiesta? A) 2/3 B) 4/5 C) 1/3 D) 3/4 E)5/3 Sabiendo que la razón geométrica de dos números cuya diferencia de cuadrados es 180, se invierte al sumar 6 al menor y restar 6 al mayor. Hallar su producto. A) 180 B) 216 C) 270 D) 396 E) Hay dos respuestas Si m es la media proporcional de 9 y 4; n es la cuarta proporcional de 8, m y 12. Hallar: m + n A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24 José y Juan tienen S/.700 entre ambos, lo que tiene José es a lo que tiene Juan como 4 es a 3. ¿Cuánto tiene José? A) S/.400 B) S/.300 C) S/.1000 D) S/.100 E) S/.600 En un salón hay 40 varones y 30 mujeres. ¿Cuántas parejas deben retirarse para que los varones que quedan sean a las mujeres que quedan como 7 es a 5? A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10 El jardinero A planta rosas más rápidamente que el jardinero B en la proporción de 4 a 3. Cuando B planta x rosas en 1 hora, A planta x+2 rosas. ¿Cuántas rosas planta B en 4 horas? A) 6 B) 8 C) 32 D) 24 E) 12 Si: , además 2a+b+c=54, calcular: E= a+ 2b+ c A) 60 B) 64 C) 70 D) 72 E) 80 Los ángulos de un triángulo son entre sí como los números 4; 7 y 9. Hallar el menor de los ángulos. A) 20° B) 24° C) 28° D) 32° E)36° En una serie de 3 razones geométricas equivalentes y continuas, el primer antecedente es 64 veces el último consecuente. Hallar el valor de la constante de proporcionalidad. A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16 La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 4, 2 y 15. ¿Cuál es el mayor de los números? A) 4 B) 10 C) 14 D) 15 E) 16 Los antecedentes de varias razones geométricas iguales son: 2; 3; 4 y 5; el producto del primer antecedente y los 3 últimos consecuentes es 41160. La suma de los consecuentes es: A) 94 B) 98 C) 95 D) 96 E) 97 En una serie de 4 razones geométricas continuas equivalentes se cumple que la suma de los antecedentes con el doble de la suma de los dos primeros consecuentes es 1500. Calcular la suma de los dos primeros antecedentes sabiendo que la constante de proporcionalidad es un número entero. A) 880 B) 900 C) 920 D) 949 E) 960 Si: en el cual el último consecuente es 8 Además: Calcular: (a + d2 + e) A) 65040 B) 65400 C) 65004 D) 32400b E) 64050 Si: Hallar: A) 0,42 B) 0,21 C) 2,34 D) 2,386 E) 4,2 Dada la siguiente serie: calcular: ‘‘b’’ si c – a=20 A) 20 B) 25 C) 28 D) 30 E) 32 Sean a; b; c; k enteros positivos tales que . Hallar el mínimo valor de: E = a + b + c + k A) 17 B) 20 C) 21 D) 23 E) 47 En cierto campeonato un equipo de fútbol, de los 18 partidos que jugó, ganó 4 más de los que empató, y el número de partidos que ganó es a los que perdió como 4 a 3. ¿Cuántos partidos empató? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 La razón aritmética de dos números es 20 y su razón geométrica es 2. El número mayor es: A) 20 B) 30 C) 40 D) 60 E) 80 La razón geométrica entre la suma y la diferencia de dos números es 5/3. Si la suma del mayor con el triple del menor es 14, hallar la suma de los cuadrados de los números. A) 68 B) 72 C) 76 D) 80 E)100 En una proporción geométrica continua la suma de los 4 términos es 64 y la diferencia entre los extremos 48. Hallar la suma de los extremos. A) 49 B) 72 C) 50 D) 85 E) 63 En un momento de una fiesta, el número de hombres que no bailan es al número de personas que están bailando como 1 es a 6. Además el número de damas que no bailan es al número de hombres como 3 es a 20. Encontrar el número de damas que están bailando si en total asistieron 456 personas. A) 120 B) 150 C) 180 D) 200 E) 210

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