RAZONES Y PROPORCIONES PROBLEMAS RESUELTOS TIPO ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD PDF

Aritmética RAZONES Y PROPORCIONES RAZÓN: Es el resultado de comparar dos cantidades que pertenecen a una misma magnitud, por medio de una diferencia o de un cociente. 
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  • Razón Aritmética: Cuando se compara por diferencia: a  b  r Ejemplo: La razón aritmética entre 15 y 9 es 6, pues 15  9  6 Razón Geométrica (RAZÓN): Cuando se compara por cociente: k b a  Ejemplo: la razón entre 6 y 3 es 2, pues 2 3 6  En los dos casos anteriores se conoce como a: Antecedente b: Consecuente r: Valor de la razón aritmética. k: Valor de la razón geométrica. PROPORCIÓN: Es la igualdad de dos razones de un mismo tipo. 1. Proporción Aritmética (EQUIDIFERENCIA): Es la igualdad de dos razones Aritméticas. a – b = c – d Donde: a y d: Se llamarán “Términos extremos” b y c: Se llamarán “Términos medios” 1.1 Proporción aritmética discreta (o no continua): Es cuando los términos medios de la proporción son diferentes a b  c  d , b  c Donde: d: Se llamará “Cuarta diferencial de a, b y c” 1.2 Proporción aritmética continua: Es cuando los términos medios de la proporción son iguales. c b b a    Donde: : 2 a c b   Se llamará “Media diferencial de a y c” c: Se llamará “Tercera diferencial de a y b” 2. Proporción Geométrica (PROPORCIÓN): Es la igualdad de dos razones geométricas d c b a  Se lee: a es a b como c es a d Donde: a y d: Se llamarán “Términos extremos” b y c: Se llamarán “Términos medios” 2.1. Proporción discreta: Es cuando los términos medios de la proporción son diferentes , b c d c b a   Donde: d: Se llamará “Cuarta proporcional de a, b y c” 2.2. Proporción continua: Es cuando los términos medios de la proporción son iguales c b b a  b  ac :Se llamará “Media proporcional de a y c” c: Se llamará “Tercera proporcional de a y b” Propiedades 1) Si d c b a  , se dice que d es la cuarta proporcional. Se cumplen: i) d c d b a b    iv) b - d b d a - c a c    ii) c d c a b a    v) n n n n n n n n d c b a ; d c b a   iii) d c b a b d a c     vi) 2 k bd ac  2) Dado: k b a ... b a b a n n 2 2 1 1     , serie de n – razones se tiene: i) k b b ... b a a ... a 1 2 n 1 2 n        ii) n 1 2 n 1 2 n k b ... b b a ... a a  iii) n n n n 2 n 1 n n n 2 n 1 k b b ... b a a ... a        Ejemplo 1. Sea M la tercera diferencial de 24 y 16. L es la media diferencial de 9 y 1. Hallar la media diferencial de M y L  1. Solución: 24 – 16 = 16 – M  M = 8 9 – L = L – 1  L = 5 Luego, 8 – x = x – 4  x = 6 Ejemplo 2. Sea M la cuarta proporcional de 7, 2 y 21. N es la tercera proporcional de 16 y 8. Hallar la cuarta diferencial de M, N y 5. Solución: M 21 2 7  → M = 6; N 8 8 16  → N = 4 Luego, M – N = 5 – x → 6 – 4 = 5 – x → x = 3 Ejemplo 3. Si b es la media proporcional de a y c, a + b + c = 63 y 16 1 a b b c 2 2 2 2    , siendo a, b y c Z+, hallar la cuarta diferencial de a, b y c. Solución: 2    a b b ac b c … (1) 16 1 a b b c 2 2 2 2    … (2) De (1) en (2): 2 2 16 =16     ac c a c a ac En (1): 2 2 b 16c  b=4c a bc  63  16c  4c c  63  c  3 a  48 b 12  48 12  3  x  x = -33 RAZONES Y PROPORCIONES FAMOSAS Existen algunas razones famosas en la historia de la matemática, aunque no se expresen con números enteros. Una de ellas es la razón constante entre la longitud de la circunferencia (C) y la de su diámetro (d). Este valor es el que conocemos como el número  (pi), cuyo valor es 3,141592... De modo que C/d = . Otra razón de interés histórico es la llamada razón áurea (Zippin, 1996). Surge al resolver este problema: Dividir un segmento dado en dos partes, tales que la menor (b) es a la mayor (a) como la mayor es al segmento total (a + b); es decir, b a a a b   La razón b/a se conoce como razón áurea, y su valor es   2 / 1 5  , es decir, aproximadamente 0,61803... Su interés histórico radica en que con esta razón se construyeron los rectángulos áureos (la razón del lado menor al mayor es 0,61803...), que están presentes en numerosos elementos (la fachada, los ventanales, etc.) de muchas construcciones clásicas (las fachadas del Partenón y de la Universidad de Salamanca, el cuadro de Las Meninas de Velásquez...) así como en objetos de la vida diaria (carnés, cédulas, tarjetas, páginas...), y dan una extraña sensación de equilibrio y armonía... [Puede ampliarse este conocimiento buscando en Internet por los términos “razón áurea”, “número de oro o áureo”, “divina proporción”, “sección áurea”...]. Finalmente, hay que destacar la sensación de armonía que presentan los cuadros y dibujos en los que se ofrece una perspectiva de la realidad que conserva sus dimensiones relativas y, particularmente, la “profundidad” de la escena. Desde el punto de vista matemático, se trata de conservar en el plano del dibujo las proporciones que presentan los objetos reales entre sí. Esta armonía es la que se echa de menos en los cuadros de los llamados pintores primitivos, o ingenuos, que presentan todos los objetos en un mismo plano, pero cuyo valor artístico no se pone en duda (lo que revela que la lógica de la matemática y la estética de la obra artística pueden convivir en mundos complementarios, que a veces se cruzan...). EJERCICIOS DE CLASE N° 10 1. La edad de María, en años, es la tercera diferencial de 16 y 12. La edad de José, en años, es la cuarta proporcional de 24; 15 y el número de años que tiene María. Si el próximo año la edad, en años, de Rosita será la tercera proporcional de las edades que tendrán María y José, ¿cuántos años tiene Rosita? A) 4 B) 6 C) 5 D) 2 E) 3 2. Javier es mayor que su primo Mario por 12 años. Si la diferencia entre las razones geométricas que se pueden formar con el número de años de cada uno de ellos es 33/28, determine la suma de las cifras del número de años que tiene Mario. A) 6 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9 3. Ramiro tiene una bolsa que contiene 68 canicas entre blancas, negras y azules; su amigo Nino le pregunta por la cantidad de canicas que tiene y Ramiro le responde: “Por cada 4 que no son azules, hay 7 que no son blancas; y por cada blanca, hay 4 que no son negras”. Si Ramiro le regaló a Nino la mitad del número de canicas azules que tenía, ¿cuántas canicas le quedaron en total? A) 50 B) 58 C) 62 D) 48 E) 42 4. De seis alumnos que rindieron una prueba de Aritmética se observa que: Las dos notas mínimas, las dos intermedias y las dos mayores notas obtenidas por ellos suman 18; 27 y 36 respectivamente; además dichas parejas de notas forman tres razones geométricas equivalentes, donde el producto de los consecuentes es 3000. Determine la diferencia positiva entre la mayor y menor nota obtenida por ellos. A) 10 B) 12 C) 11 D) 8 E) 9 5. De tres hermanas se sabe que Alicia es mayor que Beatriz, y Beatriz es mayor que Cecilia; además de mayor a menor edad ellas recibieron de propina 900; 720 y 540 soles respectivamente. Si la razón geométrica entre la suma y la diferencia del número de soles y el número de años que tiene cada una forman tres razones equivalentes, y las edades de las tres hermanas suman 36 años, determine la suma de las cifras del número de años que tiene Beatriz. A) 12 B) 3 C) 15 D) 6 E) 9 6. Cuatro hermanos tienen cierto número entero de soles: m2; n; p2; y q soles respectivamente. Si se sabe que n es la media proporcional de m2 y p2; m + n = 60 y np2=m2+nm+n+p=q , determine la suma de las cifras de la mayor cantidad de soles que posee uno de los cuatro hermanos. A) 12 B) 7 C) 15 D) 16 E) 9 7. Rocío le dice a Delia: “Te regalo una cantidad de chocolates equivalente a la suma de las cifras del valor numérico de K”. Si se cumple que mn=pq ; (m2−p2)1/2m+p=164 y K= [(n2−q2)1/2n−q]2/3 , ¿cuántos chocolates recibió Delia? A) 10 B) 13 C) 9 D) 7 E) 4 8. Pedro y María se fueron de excursión y al llegar al campo colocaron sus carpas una a 420 m de la otra. Luego de instalarse, desde sus carpas parten simultáneamente a su mutuo encuentro con rapidez constante y en línea recta. Si se encontraron en cierto punto y desde ese lugar Pedro tardó 9 minutos en llegar a la carpa de María, y María tardó 16 minutos en llegar a la carpa de Pedro, ¿a qué distancia de la carpa de Pedro ocurrió el encuentro entre ellos? A) 200 m B) 260 m C) 180 m D) 240 m E) 220 m 9. Daniela sabe que mn=pq=rt = 10-6 y le pide ayuda a su hermana Pamela para encontrar el valor numérico de G = m8−p8n8−q8 ÷ p15+r15q15+t15 . Pamela le ayudó indicándole cómo resolver y luego le dijo: ”Te daré de regalo un número de soles equivalente a la décima parte de la cantidad de ceros que tiene el valor de G”. Si Daniela halló correctamente dicho valor, ¿cuánto dinero recibió? A) S/ 2,30 B) S/ 4,60 C) S/ 4,00 D) S/ 4,20 E) S/ 3,60 10. A una heladería acudieron seis hermanos, de ellos hay dos mellizos, hombre y mujer, de una edad, y dos mellizos, hombre y mujer, de otra edad. Se sabe que la razón geométrica entre la edad, en años, de cada hermano y hermana, es la misma, formándose así tres razones geométricas equivalentes y continuas. Si la suma de las edades de los dos primeros hermanos varones es 6 años y de las dos últimas hermanas es 24 años, ¿cuántos años más que el menor de los varones tiene la mayor de las hermanas? A) 15 B) 10 C) 16 D) 14 E) 12 EVALUACIÓN DE CLASE N° 10 1. La edad, en años, de Rocío es la cuarta diferencial de 30; 13 y 33; y la edad, en años, de Patty es la tercera proporcional de 32 y el número de años que tiene Rocío. Si hoy Katy tiene tantos años como la razón aritmética del número de años que tienen Rocío y Patty, ¿cuántos años tendrá Katy cuando las edades de Rocío y Patty sean entre sí como 9 es a 7? A) 26 B) 22 C) 28 D) 23 E) 32 2. A una reunión de Escuela de Padres, Juanito acudió con sus padres y observó al inicio, con respecto a los padres asistentes, que el número de varones y el número de damas eran entre sí como 7 es a 12; pero después de media hora observó que se retiraron 9 varones y la sexta parte del número damas que había al inicio, por lo cual el número de varones y damas que quedaron en ese momento estaban en la relación de 3 a 5. ¿Cuántas damas había al inicio de esa reunión? A) 120 B) 84 C) 108 D) 96 E) 72 3. Dante para celebrar su cumpleaños, con sus amigos, preparó sangría mezclando vino con gaseosa en la relación de 3 a 2, luego de cierto tiempo observó que tan solo quedaba la mitad del volumen de mezcla inicial, por lo cual a pedido de las damas agregó 3 litros de gaseosa a lo que quedaba, resultando una mezcla final en la relación de 12 a 11. ¿Cuántos litros de gaseosa empleó en total Dante al preparar la sangría? A) 16 B) 19 C) 11 D) 15 E) 23 4. En una fiesta de promoción de primaria donde solo asisten personas adultas y niños, la cantidad de varones y mujeres están en la relación de 18 a 25. Además de cada 9 varones, 7 son niños y de cada 15 mujeres, 4 son adultas. Si se sabe que hay 39 niñas más que niños varones, ¿cuántas mujeres adultas más que varones adultos hay en dicha reunión? A) 24 B) 32 C) 26 D) 28 E) 30 5. Jorge y Rosa, esposos y profesores de matemática, reciben la visita de seis sobrinos cuyas edades son 20; m; n; p; q y r años respectivamente. Jorge le dice a Rosa: “Qué casualidad con dichos números, en ese orden, he podido formar tres razones geométricas equivalentes” y Rosa le responde: “También he observado que se cumple la igualdad n.(m+r) = p.(4q+5)”. Si Jorge y Rosa tienen (4m–12) y (5r+9) años respectivamente, además la suma de sus edades es 60 años, ¿cuántos años más que Rosa tiene Jorge? A) 12 B) 13 C) 15 D) 18 E) 9 6. Se tiene ocho razones geométricas equivalentes continuas, cuya suma es 2/5. Si la razón aritmética del último consecuente y el primer antecedente, en ese orden, es 160001, determine la suma de las cifras del denominador de la fracción irreducible equivalente al primer antecedente. A) 40 B) 38 C) 45 D) 42 E) 35 7. En una competencia atlética de carrera en una pista circular, gana el primero en dar dos vueltas completas. Si se observó que Aldo le ganó a Benito por 5/6 de vuelta y Benito le ganó Carlos por 14/19 de vuelta, ¿por qué fracción de vuelta le ganó Aldo a Carlos? A) 4/5 B) 16/19 C) 8/9 D) 18/19 E) 8/19 8. Jorge le dice a Omar: Te doy (m + n + p – q) soles, si encuentras su valor con los siguientes datos que te proporciono, 11 11 9 9 7 7 3 3            q q p p n n m m y q – n = 91 . ¿Cuánto recibió Omar, si halló correctamente dicho valor? A) S/ 136 B) S/ 182 C) S/ 273 D) S/ 143 E) S/ 169 9. Si m; n y p son dígitos positivos tal que 17 37 29 2 2 2 2 2 2 m n n p m  p     ; m < n < p, donde n es impar, halle la tercera proporcional de ( m.p – 1) y ( n+p – 2 ). A) 8 B) 4 C) 2 D) 5 E) 9 10. Las edades, en años, de cuatro hermanos forman una proporción geométrica continua cuya suma de términos es 64. Si el menor tiene 16 años menos que el mayor de todos, ¿cuántos años más que uno de los mellizos tiene el hermano mayor? A) 10 B) 6 C) 9 D) 8 E) 12 Álgebra

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