RAZONES Y PROPORCIONES EJERCICIOS PARA RESOLVER ESCOLARES Y PREUNIVERSITARIOS CON RESPUESTAS PDF

TIPOS DE PROPORCIONES ARITMÉTICAS Dependiendo del valor que asumen los términos medios las proporciones aritméticas, presenta dos tipos. 
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  • A) DISCRETA: Cuando los valores de los términos medios son diferentes EJEMPLO: 10 – 6 = 15 – 11 * Los términos medios 6 y 15 son diferentes ÞLa proporción aritmética es discreta. Se dice que el cuarto término 11, es la CUARTA DIFERENCIAL de 10; 6 y 15 (en ese orden) B) CONTINUA: Cuando los valores de los términos medios son iguales. EJEMPLO: 10 – 6=6 – 2 * Los términos medios tienen el mismo valor : 6 ÞLa proporción aritmética es CONTINUA. Se dice que el cuarto término 2, es la TERCERA DIFERENCIAL de 10 y 6 (en ese orden). * El término medio 6 es la media diferencial de 10 y 2. la forma práctica de cálculo es: 10+2 =6 2 EN GENERAL: Sea la proporción aritmética CONTINUA: a – b = b – c * El cuarto término ‘‘c’’ es la TERCERA DIFERENCIAL de a y b (en ese orden). * El término medio b es la MEDIA DIFERENCIAL de a y c. la equivalencia es: a+c b= 2 RESUMIENDO: II) PROPORCIÓN GEOMÉTRICAINTERPRETACIÓN : El precio S/.15 excede al precio de S/.13 tanto como el de S/.9 excede al de S/.7 EJEMPLO 2 : Raquel Ronel Hoy 32 años 7 años 25 años Hace 24 años 7 años 17 años 8 años 32 25 = 7 24 17 = 7   32  25 = 24  17 términos medios términos extremos La diferencia de edades de 2 personas en cualquier circunstancia del tiempo son iguales . En el ejemplo , 32 excede a 25 tanto como 24 excede a 17 . EJEMPLO 3 : En el corral de Lenin hay 15 gallinas y 10 patos ; en la de Rodolfo hay 12 gallinas y 7 patos. 251 * Observamos: En el corral de Lenin hay (15 –10=5)5 gallinas más que el número de patos, en el corral de Rodolfo también hay (12 –7=5) 5 gallinas más que el número de patos . La comparación por sustracción en ambos casos son equivalentes. Igualando: 15 –10=12 –7 * A esta igualdad de 2 razones aritméticas equivalentes se denomina Proporción Aritmética. EN GENERAL: a – b = c – d Donde: a y d son los términos extremos b y c son los términos medios PROPIEDAD: [Suma de extremos]= [suma de medios] * Es decir: a + d = b + c NOTA: Convencionalmente se asumen los términos de la proporción aritmética en el orden como se presenta en el texto. 1er 2do 3ro 4to = Término Término Término Término        Es aquella que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones geométricas. EJEMPLO 1: Se tiene cuatro recipientes cuyas capacidades son: 21L ; 7L ; 15L y 5L, las cuales se comparan mediante la división del siguiente modo: 21 =3 21L 5L: Términos Extremos 7 21L 15L = 15 7L 5L 7L 15L: Términos Medios =3 5        y y INTERPRETACIÓN: La capacidad de 21L es a la capacidad de 7L como la de 15L es al de 5L. EJEMPLO 2 : Volumen total= 70 litros Agua Leche 40 litros 30 litros 40 litros 252 Luego demezclados en forma homogénea se le extrae 14 litros Volumen total= 70 litros Agua Leche 3×(2) 3×(8) 4×(2) 4×(8) 14 litros 56 litros Extrae Queda Se puede observar de los volúmenes de agua y leche: 6 24 3 8 32 4 6 32 términos extremos 8 24 términos medios y y = = INTERPRETACIÓN: •6 es a 8 como 24 es a 32 •El volumen de agua y leche: en lo inicial, en lo extraído y en lo que queda en el recipiente; guardan la misma relación. EJEMPLO 3 : En la familia de Carlos que son 6 integrantes, todos los días compran 3 panes, en la familia de Jhon que son 10 integrantes se compran 5 panes, en ambas familias el reparto de los panes es en forma equitativa. Observamos: En la familia de Carlos los 3 panes deben ser distribuidas entre 6, como las partes son iguales a cada uno le corresponde 3 1 = 6 2       medio pan; en la familia de Jhon, los 5 panes deben ser distribuidos entre 10 personas, como la distribución es en partes iguales a cada uno le corresponde 5 1 = 10 2       también medio pan. Ambos casos son equivalentes. Igualando 3 5 = 6 10       . A esta igualdad de 2 razones geométricas se denomina proporción geométrica EN GENERAL: a c = b d Se lee: ‘‘a’’ es a ‘‘b’’ como ‘‘c’’ es a ‘‘d’’ Donde: a y d son los términos extremos. b y c son los términos medios. PROPIEDAD: Producto de extremos = Producto de medios * Es decir: a d = b c NOTA: Convencionalmente se asumen los términos de la proporción en el orden como se presentan en los enunciados: (1er. Término) (3er. Término) = (2do. Término) (4to. Término) CLASES DE PROPORCIÓN GEOMÉTRICA A) DISCRETA: Cuando los términos medios son diferentes. EJEMPLO: 8 10 = 4 5 * Los términos medios 4 y 10 son diferentes * La proporción geométrica es discreta. Se dice que el cuarto término 5 es la cuarta proporcional de 8; 4 y 10 (en ese orden) EN GENERAL: Sea la proporción geométrica discreta: a c = b d En la cual b  c , el cuarto término ‘‘d’’ es la Cuarta proporcional de a ; b y c (en ese orden) B) CONTINUA: Cuando los términos medios son iguales. EJEMPLO: 8 4 = 4 2 Los términos medios tienen el mismo valor: 4 La proporción geométrica es continua. Se dice que el cuarto término 2 es la tercera proporcional de 8 y 4 (en ese orden). El término medio 4 es la media proporcional de 8 y 2. Su forma práctica de cálculo es: (8)(2)=4 EN GENERAL: Sea la proporción geométrica CONTINUA: a b = b c El cuarto término ‘‘c’’ es la tercera proporcional de 253 a y b. El término medio ‘‘b’’ es la media proporcional de a y c. la equivalencia es: b= ac RESUMIENDO: EJEMPLO: TÉRMINOS Extremo Medios Extremo 1er. 2do 3er. 4to Proporción Aritmética 1510=127 15 10 12 7 Proporción Geométrica 3 6 5 10 3 = 5 6 10 REPASANDO: × d × Proporción Proporción Aritmética Geométrica a c a b= c d = b d a + d = c + b a = b c suma de suma de producto de producto de términos = términos términos = términos medios extremos extremos me                                 dios           Donde: •a y c son antecedentes. •b y d son consecuentes. •a y d son términos extremos. •b y c son términos medios. Además: 1er término 2do término 3er término 4to término a b c d Una proporción dependiendo de sus términos medios puede ser: Discreta: Cuando los valores de los términos medios son diferentes: 2522 = 18 15 15 es la cuarta diferencial de 25 ; 22 y 18 Lenin 25 años Erika 22 años Dany 18 años Taty 15 años 3 18 6 9 9 es la cuarta proporcional de 6 ; 18 y 3 6 3 18 9 Continua: Cuando los valores de los términosmedios son iguales. Gabriel 13 años jheny 9 años Ronel 5 años 13 9 = 9 5 Media diferencial de 13 y 9 Tercera diferencial de 13 y 9 9=13+5 2 a b = b c Media diferencial de a y c b= a+c 2 40 20 80 80 40 20 = 40 Media proporcional de 80 y 20 Tercera proporcional de 80 y 40 40= 80  20 a b bc = Media proporcional: de a y c b= a c Proporción geométrica continua Proporción aritmética continua 254 PROPIEDAD DE LA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Al efectuar las operaciones de adición y/o sustracción con los términos de una razón en la proporción, estas mismas operaciones se verifican con los términos de la otra razón. EJEMPLOS: Si: ó ó ó 4 6 4+8 6+12 4+8 6+12 = = = 8 12 8 12 4 6 8 4 12 6 8+4 12+6 = = 8 12 8 4 12 6 12 18 12 18 4 6 12 18 = ; = ; = ; = 8 12 4 6 8 12 4 6 144=144 ; 72=72 ; 48=48 ; 72=72      6+2 15+5 3+1 = = 2 5 1 6 15 6+2 15+5 3+1 = =3 = = 2 5 6 2 15 5 3 1 6 2 15 5 3 1 = = 6 15 3           EN GENERAL: Si: Se cumple lo siguiente a c a+b c+d a b c d a b c d = = = = b d b d b d a+b c+d      SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES (SRGE) Es la igualdad de dos o más razones geométricas que tienen el mismo valor. EJEMPLO 1: 12 1 4 1 25 1 20 1 = ; = ; = ; = 24 2 8 2 50 2 40 2 * Igualando: Serie de razones Valor de Razón 12 4 25 20 1 = = = = 24 8 50 40 2   EJEMPLO 2 : En algunas oportunidades nos encontramos con razones geométricas que resultan de comparar distintos pares de números que generan elmismo valor , por ejemplo: Comparamos el número de bolsas de arroz y su costo. ARROZ ARROZ ARROZ ARROZ ARROZ ARROZ ARROZ ARROZ ARROZ S/.3 S/.3 S/.3 S/.3 S/.3 S/.3 S/.3 S/.3 S/.3 12 =3 4 9 =3 3 6 =3 2  La razón geométrica entre el costo y el número de bolsas de arroz siempre es 3, igualando tenemos: 6 9 12 = = =3 2 3 4 A esta igualdad llamaremos serie de razones geométricas equivalentes (SRGE). Donde: 6 ; 9 y 12 son los antecedentes. 2 ; 3 y 4 son los consecuentes. 3 es la constante de proporcionalidad. EJEMPLO 3 : Sean: 9 12 15 21 =3 ; =3 ; =3 ; =3 3 4 5 7 * Igualando: Constante de proporcionalidad Consecuentes Antecedentes 9 12 15 21 3 4 5 7 =3 * Se cumple en la serie: 4 3 9+12+15+21 9+15+21 I) * =3 * =3 3+4+5+7 3+5+7 Suma de antecedentes constante = Suma de consecuentes de proporcionalidad 9 12 15 21 9 15 21 II) * =3 * =3 3 4 5 7 3 5 7 Producto de antecedentes                 n constante = Producto de consecuentes de proporcionalidad       n: número de razones que se multiplican en la serie EJEMPLO 4 : Si: A=3k A B C D B=5k = = = =k C=9k 3 5 9 10 D=10k      Se lee: A, B, C, y D, están en la misma relación que están los números 3 ; 5 ; 9 y 10. Antecedente=Consecuente constante de proporcionalidad 12 15 21 33 * = = = = 3 4 5 7 11        255 12+15+21+33 12 15+21+33 =3 =3 4+5+7+11 4 5+7+11 suma de antecedentes =K suma de consecuentes     3 4 12 15 21 =3 3 4 5 7 12 15 21 33 =3 4 4 5 7 11                   Tres razones que se multiplican Cuatro razones que se multiplican Producto de antecedentes n =K Producto de consecuentes Donde n es número de razones que se multiplican. OBSERVACIÓN: La serie de la forma a b c d = = = b c d e , se denomina serie de 4 razones geométricas equivalentes continuas. EJEMPLO : En las siguientes series de razones geométricas: 8 12 18 81 54 36 24 * = = * = = = 12 18 27 54 36 24 16 Se observa que primer consecuente es igual al segundo antecedente, el segundo consecuente igual al tercer antecedente y así sucesivamente. A este tipo de serie se le denomina: serie de razones geométricas continuas equivalentes. En general: A B C D = = = =k B C D E , también 4 3 2 3 2 nk nk nk nk = = = =k nk nk nk n Es una serie de razones equivalentes continuas. EN GENERAL: 1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n a a a a = k ; = k ; = k ; ......... ; = k b b b b a a a a = = = ........= = k b b b b  Serie de ‘‘n’’ razones geométricas equivalentes Donde: a1 , a2 , a3 ,….., an: Antecedentes b1 , b2 , b3 ,…..., bn: Consecuentes k: Constante de proporcionalidad o valor de la razón. PROPIEDADES: 1) En toda serie de razones geométricas equivalen tes se cumple que: ‘‘la razón geométrica entre la suma de sus antecedentes y la suma de sus consecuentes posee un valor igual a la constante de proporcionalidad de dicha serie’’ Es decir: 1 2 3 n 1 2 3 n a +a +a +...+a = k b +b +b +...+b ó Suma de antecedentes razón = Suma de consecuentes varía       2) En toda serie de razones geométricas equivalentes, se cumple que ‘‘la razón geométrica entre el producto de los antecedentes y el producto de los consecuentes posee un valor igual al constante de proporcionalidad elevada a un exponente igual al número de razones que conforman la serie’’. Es decir: 1 2 3 n n 1 2 3 n n a a a ... a = k b b b ... b Producto de antecedentes =(razón ) Producto de consecuentes         Donde: n: Indica el número de razones que se están multiplicando. REPASANDO : PROBLEMA 1: Las edades de Juan y Rocío están en relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. ¿Qué edad tiene Juan? A) 20 años B) 30 C) 40 D) 45 E) 60 PROBLEMA 2: Calcular la cuarta diferencial de los precios de tres artículos que son S/.50, S/.34 y S/.29. A) 12 B) 21 C) 13 D) 18 E) 17 PROBLEMA 3: Calcule la cuarta proporcional de las estaturas de 3 estudiantes y que son: 1,6 m; 1,2m y 1,4m. A) 1 B) 2,03 C) 2,01 D) 1,05 E) 3 PROBLEMA 6: Tres números son entre sí como 4 ; 7 y 11, y la suma del menor con el mayor de dichos números es 105. Determinar el menor de estos números. A) 49 B) 14 C) 24 D) 30 E) 28 PROBLEMA 11: En una proporción geométrica se sabe que el producto de extremos es 600. Si los términos medios son consecutivos. ¿Cuál es la suma de los términos medios? A) 94 B) 49 C) 24 D) 25 E) 78 PROBLEMA 17: El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 20 736. Si la razón de la proporción es menor que 1 y la suma de los extremos es 30, determinar el segundo extremo. A) 12 B) 20 C) 28 D) 32 E) 24 PROBLEMA 14: La relación entre el número de pasajeros de dos micros es de 7 a 5; si bajan 4 pasajeros de uno y suben al otro, se iguala el número de pasajeros en ambos , ¿cuántos pasajeros llevan entre ambos? A) 54 B)36 C)72 D)60 E) 48 PROBLEMA 24 : Para envasar 15000 litros de aceite se dispone de botellas de 1/2 litro, 1 litro y 5 litros. Por cada botella de 5 litros, hay 10 de un litro y 20 de medio litro. Al terminar de envasar el aceite, no sobra ninguna botella vacía. ¿Cuántas botellas había en total ?. A) 18000 B) 27000 C) 18600 D) 30000 E) 240 PROBLEMA 28 : Un asunto fue sometido a votación de 600 personas y se perdió; habiendo votado de nuevo las mismas personas sobre el mismo asunto, fue ganado el caso por el doble de votos por el que se había perdido la primera vez, y la nueva mayoría fue con respecto a la anterior como 8 es a 7. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión?. A) 100 B) 110 C) 120 D) 140 E) 150 PROBLEMA 42 : En tres razones geométrtcas iguales y continuas, cuyos términos y la razón son enteros positivos. Se sabe que la media aritmética, de lamedia geométrica de los términos de la segunda razón y la media geométrica de los consecuentes extremos es 810. Determinar la serie de razones. RESOLUCIÓN

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