Propiedades de los triangulos ejemplos teoremas y problemas resueltos

Geometría SEMANA Nº 3 RELACIONES ANGULARES DE UN TRIANGULO 3.1. ÁNGULOS ADYACENTES Son dos ángulos que tienen el vértice y un lado común, y sus interiores disjuntos. 3.2. PAR LINEAL Son dos ángulos adyacentes cuyos lados no comunes son opuestos. 3.3. POSTULADO Si dos ángulos forman un par lineal, entonces la suma de sus medidas es 180°. + = 180° 3.4. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es 90º. 3.5. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es 180º Triángulos II: Líneas y Puntos Notables 1. Altura Segmento que parte de un vértice y corta en forma perpendicular al lado opuesto o a su prologación. Ortocentro Es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo. H : Ortocentro PARA RECORDAR Todo triángulo tiene un solo ortocentro. – Es un punto interior si el triángulo es acutángulo. – Es un punto exterior si el triángulo es obtusángulo. – Si es rectángulo está en el vértice del ángulo recto. 2. Mediana Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a dicho vértice. Baricentro Es el punto donde se intersectan las tres medianas de un triángulo. G : Baricentro Teorema B G = 2 G M AG=2GN CG=2GS PARA RECORDAR – Todo triángulo tiene un solo baricentro. – Divide a cada mediana en relación como 1 es a 2. – El baricentro es siempre un punto interior. – Es llamado también gravicentro o centro de gravedad de la región triangular. Int. Ext. Coincide con un cateto H H H A M C B Mediana BM N A M C S B G UNIDAD 5 3. Bisectriz Segmento que divide a un ángulo interior o exterior en dos ángulos de igual medida. Incentro Es el punto donde se intersectan las tres bisectrices interiores de un triángulo. PARA RECORDAR – Todo triángulo tiene un solo incentro. – El incentro equidista de los lados del triángulo. – El incentro es siempre un punto interior al triángulo. Excentro Es el punto donde se intersectan dos bisectrices exteriores con una bisectriz interior en un triángulo. E : Excentro relativo a BC PARA RECORDAR – Todo triángulo tiene tres excentros. – Los excentros son siempre puntos exteriores al triángulo. 4. Mediatriz Es una recta que pasa por el punto medio de un lado cortándolo en forma perpendicular. ↔L : Mediatriz de AC Circuncentro Es el punto donde se cortan las tres mediatrices de un triángulo. C: Circuncentro PARA RECORDAR – Todo triángulo tiene un solo circuncentro. – El circuncentro equidista de los vértices del triángulo. – Es un punto interior si el triángulo es acutángulo. – Es un punto exterior si el triángulo es obtusángulo. – Si es rectángulo está en el punto medio de la hipotenusa. interior exterior β α β α A D C E B β β γ αα γ C I I = incentro A B α α β β φ A. Ceviana Segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación. Cevacentro Es el punto donde se intersectan tres cevianas de un triángulo. C: Cevacentro o punto ceviano PARA RECORDAR Todo triángulo tiene infinitos cevacentros. Observaciones – Para ubicar un punto notable sólo es necesario trazar dos líneas notables de la misma especie. – En todos los triángulos isósceles, si se traza una de las cuatro primeras líneas notables hacia la base, dicha línea cumple las mismas funciones que las otras. – En todo triángulo equilátero el ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro coinciden. – En todo triángulo isósceles, el ortocentro, baricentro, incentro y el excentro relativo a la base, se encuentran alineados en la mediatriz de la base. Propiedades con líneas notables 1. Ángulo formado por dos bisectrices interiores. x = 90º + 2 a 2. Ángulo formado por dos bisectrices exteriores x = 90º – 2 a 3. Ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior. x = 2 a O A B interior exterior D C E A B M D S N C a° α α β β x° α α a x° β β α α β β a° x° 4. x = 45º – 4 a 5. x = 2 a + b 6. x = 2 a + b 7. Ángulo formado por una altura y una bisectriz interior. x = 2 α − β α° α° x° a° ω° φ° ω° φ° β° β° α°α° x° a° b° β° β° α° α° x° a° b° β° β° x° A H B D C a a Problemas Aplicativos 1. Calcule “x”. Si: I: Incentro a) 45° b) 35° c) 75° d) 65° e) 55° 2. Calcule “x”. Si: E: Excentro a) 60° b) 50° c) 70° d) 40° e) 55° 3. Calcule “x”, si G es baricentro. a) 30° b) 60° c) 53° d) 45° e) 53 2 4. Calcule “x”. Si: O es circuncentro del triángulo. a) 30° b) 70° c) 60° d) 50° e) 80° 5. Calcule “x”. Si: H es ortocentro. a) 8° b) 9° c) 15° d) 12° e) 18° 6. Calcule “x”. Si: E: Excentro a) 15 b) 25 c) 30 d) 60 e) 50 7. Calcule del mayor valor entero de “x”. Si: E: Excentro a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2 8. Calcule “x”. Si O es circuncentro. a) 12 b)6 2 c)6 3 d) 18 e) 24 9. Calcule “x”. Si O es circuncentro. a) 12 b) 6 2 c) 8 2 d) 16 e) 24 10. Calcule “x”. Si: G es baricentro. AB=2GM a) 70° b) 80° c) 50° d) 20° e) 60° 40° I x x x 80 E x G A C B O x 80° x 2x α α A B H C x x E 40° x 3 E 4 60° O 6 x 45° O x 8 20° G A B M C x 11. En la siguiente figura, calcule “x”. Si: G es baricentro. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15 12. Calcule “x”, si I es incentro. a) 25° b) 36° c) 72° d) 45° e) 90° 13. Calcule “x”. Si I es incentro y E es excentro del DABC. a) 8 b) 12 c) 13 d) 20 e) 15 14. Calcule “x”, si E es excentro del DABC. a) 45° b) 15° c) 20° d) 30° e) 40° 15. ABCD es un romboide. Calcule “x”, si C es excentro de DABD. a) 130° b) 140° c) 160° d) 120° e) 150° Problemas Propuestos 1. En la figura, calcule “x”. Si: O es circuncentro. a) 10° b) 12° c) 15° d) 8° e) 9° 2. En la figura, calcule “x”. Si: H es ortocentro. a) 15 b) 12 c) 8 d) 9 e) 10 3. En la figura, calcule “x”. Si: G es baricentro. a) 9 b) 15 c) 12 d) 10 e) 18 4 3G x I x A C B x 5 12 E I B E x C A θ θ B D x C A 8x x O H 3x 6x 2x 2m 8x 3m G 4. En la figura, calcule “x”. Si: I es incentro. a) 24° b) 18° c) 15° d) 10° e) 20° 5. En la figura, calcule “x”. Si: E es excentro del DABC. a) 55° b) 65° c) 75° d) 60° e) 53° 6. Calcule “x”. Si: I es incentro del DABC. a) 71,5° b) 63,5° c) 22,5° d) 53,5° e) 27,5° 7. En la figura, calcule “x”. Si BR es bisectriz del ángulo ABC. a) 19 b) 26 c) 13 d) 15 e) 18 8. En la figura, calcule “x”. Si: mBDC=70° a) 30 b) 20 c) 40 d) 35 e) 45 9. En la figura, calcule “x”. a) 10 b) 4 c) 8 d) 12 e) 6 10. En la figura, calcule “x”. Si: I es incentro del DABC. a) 71,5° b) 63,5° c) 53,5° d) 53,5° e) 27,5° 11. En la siguiente figura, calcule “x”. a) 35° b) 18° c) 20° d) 30° e) 15° 80° x B A C E B I x A C α θ α θ x 52° B I CLAVES 1.e 2.c 3.e 4.b 5.e 6.b 7.b 8.c 9.c 10.b 11.c 12.e 13.c 14.d 15.e 1.a 2.e 3.d 4.e 5.b 6.c 7.a 8.c 9.e 10.a 11.d 12.c 13.d 14.a 15.e 12. En la siguiente figura, calcule “x”. a) 20° b) 25° c) 50° d) 40° e) 30° 13. En la siguiente figura, calcule “x”. Si: “O” es circuncentro del triángulo ABC. a) 120° b) 100° c) 96° d) 90° e) 80° 14. En un triángulo ABC, donde mA=78° y mB=24. Si: O es circuncentro e I es incentro. Calcule la mOAI. a) 27° b) 14° c) 23° d) 32° e) 37° 15. En un triángulo ABC, AB=BC, mB=44°. I : incentro H : Ortocentro Calcule la mIAH. a) 4° b) 6° c) 8° d) 10° e) 12° 80° x 30° Geometría EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 2 1. En la figura, los triángulos ABC y QBP son congruentes. Halle x. A) 25° B) 40° C) 25° D) 50° E) 20° Solución: • Dato ABC  QBP  mQPB = x y PB = BC •PBC isósceles  BP = QP • En P: x + x = 100°  x = 50° Rpta.: D B Q A C P 80° x 80° x B Q A C P x x 2. En un triángulo ABC, Q es un punto de AC y D un punto en el exterior del triángulo relativo a AC . Si AB = AQ, mBAC = mCAD, mACD = 4mADQ, mQDC = 3mADQ y mACB = 20°, halle mQDC. A) 80° B) 50° C) 60° D) 40° E) 70° Solución:  x = 3  CAD: isósceles AC = AD = a + b  ABC  AQD (LAL)   = 20°  x = 60° Rpta.: C 3. En la figura los triángulos ABC y PQB son equiláteros. Halle x. A) 30° B) 50° C) 40° D) 10° E) 20° Solución:   ABP   CBQ (LAL)  80° = 60° + x  x = 20° Rpta: E   4. En la figura se tiene el croquis de algunas calles de una ciudad, las líneas AP y BQ, representan dos calles paralelas. Si EM = MP, QN = NF, AP = 120 m y BQ = 140 m, halle MN. A) 120 m B) 130 m C) 140 m D) 150 m E) 180 m Solución:  AMF: isósceles x + b = 120 + a … (1)  ENB: isósceles x + a = 140 + b … (2)  (1) + (2) 2x = 120 + 140 x = 130 Rpta.: B 5. En la figura, se tiene dos piezas de un rompecabezas que determinan un triángulo equilátero. Las piezas se mueven para formar una figura determinada por seis segmentos, de los cuales tres pares de dichos segmentos son congruentes. Si AD = 5 cm, DC = 3 cm y BD = 7 cm, halle la longitud del menor de estos segmentos. A) 1 cm B) 2 cm C) 1,5 cm D) 2,5 cm E) 3 cm Solución:  De la figura AC' D'D 1 Rpta: A 6. Un niño tiene cierta cantidad de tapitas de una marca conocida de gaseosa y los coloca consecutivamente sobre los lados de un triángulo ABC, que dibujo en el suelo. Si en AB contó 10 tapitas; en BC , (n – 5) tapitas y en AC , (2n – 3) tapitas, halle el número de tapitas que tiene el niño. A) 18 B) 23 C) 20 D) 22 E) 24 Solución:  ABC: 10 < n – 5 + 2n – 3 6 < n … (1)  ABC: 2n – 3 < n – 5 + 10 n < 8 … (2)  De (1) y (2): n = 7  x = (10 + 2 + 11) – 3  x = 20 Rpta: C 7. En la figura, mBAC = mDQB, AQ = QP, PB = QC y AB = QD. Halle mDBC. A) 80° B) 60° C) 100° D) 70° E) 90° n – 5 2n – 3 D C´ D´ B´ Solución:  BAQ  DQP (LAL)  DP = BQ = a + b y mAQB = mDPQ  DPB  BQC (LAL)  mDBP = 50° y mQBC = 30°  mDBC = 80° Rpta.: A 8. En la figura, BQ // CP // AD y AB = BC. Halle . A) 36° B) 40° C) 30° D) 45° E) 20° Solución:  BQ // AD mACB = 2  BQ // AD  β + 2 β + 2β = 180° β = 36° Rpta.: A 9. En la figura, L1 // L2 y L3 // L4. Halle x. A) 50° B) 40° C) 30° D) 45° E) 60° Q β B A C β β P D 2β Q β B A C β β P D 2β β Solución:  En C por par lineal x +  +  = 180°  L1 // L2  2 + 2 + 80° = 360°  +  = 140°  x = 40° Rpta.: B 10. En la figura, L1 // L2 y L3 // L4. Halle . A) 24° B) 36° C) 40° D) 45° E) 30° Solución:  En A por par lineal 5 +  = 180° . . . (1)  L1 // L2  mACD =  +   Por opuestos por el vértice  + 90° = 4  = 30° . . . (2)  (2) en (1):  = 30° Rpta.: E 11. En la figura, los triángulos ABC y CQP son congruentes. Halle x. A) 60° B) 40° C) 20° D) 36° E) 72° A P 20° B x 2x C Q Solución:  ABC  CQP  PC = AC y mPQC = mABC =   PCA: isósceles mPAC = x + 20°  PQ // AB x + x + 20° + 2x = 180°  x = 40° Rpta: B 12. En un triángulo ABC, P y Q son puntos de BC y AC respectivamente. Si AP = QC, AB = PC y mBAP = mPCQ = 20°. Halle mAPQ. A) 18° B) 15° C) 40° D) 20° E) 10° Solución:  ABP  CPQ (LAL)  mABP = mQPC =   AB //PQ  x = 20° Rpta.: D 13. En la figura, L1 // L2 y L3 // L4. Si AB //CD, halle mABC. A) 150° B) 160° C) 80° D) 100° E) 120° X +20°   20° B x 2x C Q P A D Resolución:  L3 // L4  mDBC = 2  CD // AB  mABD = 2  mABC = 2( + )  L1 // L2 :  +  = 60°  mABC = 120° Rpta.: E 14. En un triángulo ABC, AB = (x – 2) m, BC = (2x + 5) m y AC = 12 m. Si x es un valor entero, halle el perímetro del triángulo ABC. A) 28 m B) 27 m C) 30 m D) 29 m E) 25 m Solución:  2p = 3x + 15  ABC x + 7 < 12 < 3x + 3  3 < x < 5  x = 4 Rpta.: B EVALUACIÓN Nº 2 1. Se desea confeccionar unos banderines determinados por triángulos isósceles tal que dos lados del triángulo miden 30 m y 14 m. Halle el perímetro de uno de los banderines. A) 72 m B) 66 m C) 84 m D) 74 m E) 70 m Solución:  2p = 44 + l  AOB: 16 < l  l = 30  2p = 74 14 Rpta.: D 30 2. En un triángulo ABC, P es un punto de AB , L de BP y Q de la prolongación de CL , tal que BQ // AC y los triángulos QBC y APC son congruentes. Si mPCL = 15° y mQAB = 45°, halle mPCA. A) 25° B) 10° C) 30° D) 15° E) 20° Solución:  BQ // AC  mBQC = x + 15°  QBC APC    QC = AC y mPAC = x + 15°  BQ // AC x + 15° + 60° + x + 60° + x = 180° x = 15° Rpta: D 3. En la figura, AB = BC, PB = BQ y AP = RC, halle x. A) 30° B) 35° C) 40° D) 45° E) 50° Solución:   ABP   CBQLAL  QC = AP  x + 30° = 70°  x = 40° Rpta.: C 4. La figura representa la hélice de un molino de viento, para generar energía, las aspas de la hélice son congruentes. Si mOBA = 35°, halle mABC. A) 20° B) 35° C) 40° D) 18° E) 25° Solución:  Del dato:  AOC   BPO  mACO = 35° y OC = OB  En C: x + 35° + 35° = 90° x = 20° Rpta.: A 5. En un triángulo ABC, P es un punto de AB , mBAC = mPCA y mBPC > 90°. Si AP = 5 m y BP = 2 m, halle el valor entero de BC . A) 5 m B) 4 m C) 6 m D) 7 m E) 8 m Solución:  PBC: x < 2 + 5 x < 7 … (1)   PBC:  > 90°  5 < x … (2)  De (1) y (2) x = 6 Rpta: C 6. En la figura, se tiene un triángulo cigomaticofacial (ubicado cerca al oído, la cual representa una zona libre de nervio facial). Si los lados de dicho triángulo tienen medidas enteras, AB = 26 mm, BC = 50 mm y mACB > mABC, halle el perímetro del triángulo ABC. A) 101 mm B) 90 mm C) 84 mm D) 96 mm E) 103 mm Solución:  ABC: mACB > mABC  26 > b… (1)  ABC: b > 24 … (2)  De (1) y (2): b = 25 2p = 101 Rpta: A