PROPIEDADES DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS PROBLEMAS DESARROLLADOS

Aplicaciones de la congruencia de triángulos 1. Teorema de la bisectriz Si un punto pertenece a la bisectriz de un ángulo, entonces dicho punto equidista de los lados del ángulo. Si: OP  es bisectriz del AOB, entonces PB = PA y OA = OB. Observación: En la figura d es la distancia de P hacia  2. Teorema de la mediatriz Si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento, entonces dicho punto equidista de los extremos del segmento, también se dice que la mediatriz es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los extremos del segmento. Si  es mediatriz de AB y P, pertenece a  , entonces PA = PB, luego APB es isósceles. Exigimos más! Observación: En el triángulo isósceles ABC, la altura BH es también mediana y bisectriz. 3. Teorema de los puntos medios El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo se denomina base media y es paralelo al tercer lado, además su longitud es la mitad de la longitud del lado al cual es paralelo. Si M y N son puntos medios de AB y BC respectivamente, entonces: MN / / AC y MN AC 2  4. Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa La longitud de la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la longitud de dicha hipotenusa. Si M es punto medio de AC, entonces: BM  AM  MC V. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Aproximaciones trigonométricas Problema 1 Geometría EJERCICIOS DE CLASE Nº 4 1. En un jardín triangular, la ubicación de un aspersor donde el riego cubra todo el jardín debe estar en la intersección de las mediatrices de sus lados. Si un jardín está representado por un triángulo rectángulo ABC y las distancias de la regadera a AB y BC son 4 m y 3 m respectivamente, halle el perímetro del jardín. A) 24 m B) 21 m C) 22 m D) 25 m E) 20 m Solución: 1) Por base media: AB = 6, BC = 8 2) En BMO: BO = 5  Perímetro del ABC: 2p = 6 + 8 + 10 = 24 m Rpta.: A 2. En una poza triangular, el sumidero que equidista de las tres paredes, está en la intersección de las bisectrices interiores. Si la poza está representada por el triángulo rectángulo ABC donde AC = 4 m, AB = 2 m, halle la distancia del punto de desagüe a una de las paredes de la poza. A) (2 3 1)m B) (3 3 1)m C) ( 3 1)m D) (2 3 1)m E) ( 3 1)m Solución: 1) El ABC notable 30°- 60°: BC = 2 3 3) Propiedad de la bisectriz: a + 2 = 2 3 – a  a = 3 – 1 Rpta.: E 3. En la figura, L 1 y L 2 son mediatrices de AQ y BC respectivamente. Si AB = CQ, halle mBAQ. A) 81° B) 85° C) 84° D) 80° E) 82° A B C M N O 4 3 A B C P Q R a a a a 2 a 2 a a 2 2 3a a A B C Q P 1 2 42° Solución: 1) APQ: isósceles  mPAQ = 42° 2) ABP  QCP (LLL)  mBAP = 42° Luego, mBAQ = 84° Rpta.: C 4. En la figura, AB = AC, Q es punto medio de PR . Si AP = 5 m y PB = 2 m, halle CR. A) 2 m B) 1,5 m C) 1,6 m D) 2,5 m E) 2,4 m Solución: 1) En BAC isósceles 2) En PRA, trazar QS base media  QS = 2,5 QSC isósceles  SC = 2,5 y AS = SR = x + 2,5 3) De la figura: x + 5 = 7  x = 2 Rpta.: A 5. En la figura, AB = CD y MN = NP. Si L es mediatriz de AD , halle . A) 45° B) 53° C) 30° D) 37° E) 15° A B C Q P a 2 1 a b b c c 42° 42° 42° A B C R Q P A B S C R Q P 2    5 2,5 x+ 2,5 2,5 x 7 B A P C M D N  90°  Solución: 1) MAP es isósceles  ABD es isósceles  ADC es isósceles 2) ABD es equilátero  2 = 60°  = 30° Rpta.: C 6. En una hoja de cartulina de forma triangular rectangular ABC se hacen dos dobleces, BA sobre BC y BC sobre AC, intersecándose en el punto I. Si IC = 10 cm, halle la distancia de C a la recta AI. A) 4 2 cm B) 3 2 cm C) 5 3 cm D) 6 2 cm E) 5 2 cm Solución: 1) Los dobleces AD y CE son bisectrices  mAIC = 90°+ 2 mB =135° 2) Construir CHI notable 45°- 45°  x = 5 2 Rpta.: E 7. En un triángulo ABC, AB = 9 m, BC = 14 m y AC = 12 m. Se trazan las bisectrices exteriores de B y C y desde A, trazar perpendiculares a las bisectrices, siendo M y N los pies de las perpendiculares. Halle MN. A) 16,5 m B) 17,5 m C) 15,5 m D) 18,5 m E) 19,5 m B A P C M D N  90°     a a 2 A E B D H C I 135° 10 45° x Solución: 1) ABE y ACF son isósceles. 2) En EAF: MN es base media  MN = 2 EF = 17,5 Rpta.: B

Desarrollo del prospecto del examen de admisión a la universidad