Promedios ejercicios resueltos

oBJETIVOS : * Ordenar datos recopilados en cierto entorno. * Reconocer que un conjunto de datos , puede tener un representante llamada PROMEDIO. * Conocer y aplicar cada una de las definiciones de los promedios en determinada realidad. * Aplicar las diferentes propiedades de los promedios en la resolución de problemas. * Conocer y resolver problemas aplicados a la realidad sobre promedio ponderado. INTRODUCCIÓN : En la vida cotidiana hemos escuchado muchas veces decir: « El sueldo promedio de una persona es S/. 850»; «Tengo 16 de promedio en Matemáticas »; «La velocidad promedio de Senna en el Gran Prix de Mónaco fue 190 km/h». Esto nos lleva a pensar que es necesario determinar un valor , el cual se encuentra entre el mayor y menor de ciertas cantidades que indique un valor representativo, a éste se le llama «promedio». Un dato es un valor cualitativo o cuantitativo que caracteriza : la nota de un examen , un peso , la estatura de una persona , la cantidad de personas que leen un cierto diario , el estado civil , etc. Cada dato individualmente sólo representa un valor o un momento determinado y bajo condiciones preestablecidas . Por ejemplo, la ama de casa va al mercado diariamente durante 6 días y efectúa diversos gastos : El lunes gasta S/. 6 , el martes S/. 4 , el miércoles S/.10 , el jueves S/. 6 , el viernes S/. 6 , el sábado S/. 12 . No es posible afirmar que solo con el martes , que el gasto diario sea de S/. 4 sólo porque dicho día gasto S/. 4, igualmente solo con el sábado,no podemos afirmar que en la semana se gastó S/.6×12=S/.72 solo asumiendo el dato del sábado. En cambio si consideramos el conjunto de valores que tenemos y ubicamos un número que lo represente , esto es un número que describa en promedio el gasto diario o el gasto semanal efectuado por la señora, estaremos utilizando un conjunto de datos que se relacionan y del cual requerimos información. Hemos utilizado la palabra promedio en el sentido usual que nos refiere a groso modo un valor que nos de una idea general del gasto diario (o semanal): Al analizar el conjunto de datos que tenemos observamos un gasto máximo de S/. 12 y el otro mínimo de S/. 4 entonces entendemos que el gasto promedio debe encontrarse entre dichas cantidades. una forma de calcular dicho promedio sería (tal como calculamos nuestro promedio de notas en el colegio) Sumando los gastos y dividiendo entre 6 , es decir : Lo cual quiere decir que el gasto diario es de S/. 8 en promedio. Entonces, si cada día se gastara S/. 8 el gasto total sería 86 = 48 soles diarios que coincide con la suma de los gastos que son los datos. ¿De que forma o bajo que criterios elegimos el valor que representa a dicho conjunto de datos? En el presente capítulo estudiaremos las 3 formas más usuales en que podemos determinar el promedio de un conjunto de datos , principalmente desde un punto de vista aritmético (números y operaciones) y no estadístico lo cual será explicado en su capítulo correspondiente , más adelante. PROMEDIO Cantidad representativa de un conjunto de valores (medidas de tendencia central) dado : TIPOS DE PROMEDIOS I) Promedio Aritmético o Media Aritmética: O simplemente promedio. Es el promedio de una cantidad finita de números y es igual a la suma de todos ellos dividida entre el número de sumandos . La media aritmética también puede ser denominada como el punto central que pone en equilibrio la situación , el cual no es necesariamente la mitad . Es decir: En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media), de un conjunto finito de números, es igual a la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales. Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media (aritmética) es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación. También la media aritmética puede ser denominada como centro de gravedad de una distribución, el cual no es necesariamente la mitad. Una de las limitaciones de la media es que se ve afectada por valores extremos; valores muy altos tienden a aumentarla mientras que valores muy bajos tienden a bajarla, lo que implica que puede dejar de ser representativa de la población. ejemplo 1 : Dar la de : 7 ; 13 y 4 Resolución : Sean «n» números y «s» suma de los números. ejemplo 2 : Sean las notas de Lenin : 16 ; 15; 12 y 14: entonces se observa que su promedio se calcula así: Cuando se habla del término «Promedio» y no indiquen a qué promedio se refiere, debe considerarse el PROMEDIO ARITMÉTICO. ejemplo 3 : Si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres y dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la información de una distribución (dinero en el bolsillo) suponiendo que cada observación (persona) tendría la misma cantidad de la variable. II) Promedio Geométrico o Media Geométrica Es el segundo promedio más importante ,generalmente nos permite promediar índices porcentuales y tasas de crecimiento. n : número de datos Generalmente la media geométrica se aplica para valores extremos , es decir , los datos se presentan bastantes dispersos . El promedio geométrico sólo se aplica a números positivos y siempre resulta menor o igual que el promedio aritmético de los mismos. (la igualdad se tiene cuando todos los números promediados son iguales). ejemplo 1 : Dar la de : 5 ; 15 y 45 Resolución : ! rECUERDA ¡ * La aplicación de la media geométrica se recomienda para determinar el promedio de variaciones expresadas como tasas o porcentajes. * El promedio geométrico por su parte, es relevante cuando los datos se usan multiplicativamente para obtener un resultado. Es así que puede interpretarse como un valor que puede sustituir a cada dato para producir el mismo producto total. ejemplo 2 : Los índices de precio de consumidor durante 3 años fueron : Determine la inflación promedio de dichos tres años. resolución : Lo pedido estará dado por el promedio geométrico de dichos porcentajes , así : Sean «n» números y «p» producto de los números . Ejemplo 3 : Un caso de aplicación del promedio geométrico, es el de cálculo de interés en un depósito a plazo. Suponga (en un caso hipotético en que las tasas no necesariamente son las que habitualmente se transan en los bancos) que una persona desea depositar $1 000 000 durante un mes a una tasa de 2%. Esto significa que al término del mes, el banco le entrega $1 020 000. Al siguiente mes, toma el capital inicial más los intereses y los deposita por otro mes. Esta vez el banco ofrece una tasa de 3%. Al término del segundo mes recibe $1 050 600. Finalmente, deposita este nuevo capital por un tercer mes , ahora al 4% , obteniendo al final $1 092 624. ¿A qué tasa mensual debería ponerse el capital inicial para obtener el mismo capital final al cabo de los tres meses? Esta pregunta quiere dilucidar cuál sería la tasa fija que el banco debiese haber aplicado en cada uno de los tres meses en que el capital estuvo depositado (con los intereses variables 2% ; 3%, 4% que vimos). El capital total finalmente obtenido, puede expresarse como: 1000000×1,02×1,03×1,04 = 1000000×1,092624 Esto significa que la tasa total aplicada es de 9,2624% Entonces, la tasa mensual estaría dada por la raíz cúbica de 1,092624, cuyo valor es 1,029968. Es decir, se habría necesitado una tasa mensual de 2,9968%. Cantidad levemente inferior al 3% que se obtendría si, erróneamente, se hubiese promediado 2%, 3% y 4%. Para ver claramente cómo interviene el promedio geométrico en este ejemplo, escribamos las tasas de interés como un factor multiplicativo del capital al cual se aplican. De este modo, las sucesivas tasas son: 1,02 ; 1,03 ; 1,04. El promedio geométrico de estos números es: III) Promedio armónico o media armónica : Es el promedio de «n» números reales no nulos,definido como el recíproco del promedio aritmético de los recíprocos de dichos números. La media armónica resulta poco influida por la exitencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros , siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto . ejemplo : Dar la de : 6 ; 2 y 3 Resolución : Iv) Promedio ponderado (Promedio de Promedios) Es un caso especial del promedio aritmético, en el cual se tienen varios grupos, conociéndose de cada grupo, el número de elementos o datos que lo conforman (ni) y su respectivo promedio aritmético (Pi). Es decir: Cantidades : n1 n2 n3 ... nK Promedios aritméticos: P1 P2 P3 ... PK Promedio ponderado Este tipo de promedio se utiliza cuando un conjunto de datos numéricos corresponden a mediciones hechas con determinados criterios , los que a su vez se distinguen , entre sí , por poseer un valor , importancia o influencia diferentes a los que se denominan peso o crédito ,frecuencia y de lo que se trata es que el promedio los incluya en su cálculo . Para el cálculo de éste, es necesario que todas las cantidades a promediarse posean alguna característica que las identifique plenamente; a dicha característica se le llama PESO O PONDERACIÓN; así por ejemplo, en nuestro Centro educativo a un alumno se le toma 2 exámenes: mensual y bimestral; de los cuales el bimestral tiene MÁS PESO que el mensual por cantidad de avance académico o porque abarca muchos más temas desarrollados en clase. En general para las cantidades: a1; a2; a3; ... : an cuyos pesos respectivamente son: w1; w2; w3; ... ; wn; entonces el promedio ponderado sería: ejemplo 1 : Al dar 3 exámenes, obtengo 11 ; 17 y 13; siendo los pesos de cada examen 2 ; 1 y 3 ¿Cuál será mi nota promedio? Resolución : La nota promedio será : En general : Donde: an : enésimo de las notas , precios , … etc. pn : enésimo de los promedios, pesos , frecuencias , créditos, … etc. Un promedio ponderado difiere de un promedio en que un promedio ponderado devuelve un número que depende tanto en su valor y su peso. ejemplo 2 : Sean los valores: 120 ; 150 ; 200 y los pesos: 2 ; 4; 6 . Hallar el promedio ponderado. Resolución : ejemplo 3 : En la libreta de notas de Pedrito se observó lo siguiente: ¿Cuál es su promedio ponderado? reSolución: propiedades I) Para 2 cantidades «a» y «b» II) Dado : Se cumple que su media geométrica es mayor que la media armónica pero menor que la media aritmética. Se verifica que : MAYOR MENOR PROMEDIO PROMEDIO Cuando se haga mención del MAYOR promedio se trata del promedio ARITMÉTICO y cuando se mencione el MENOR promedio, se trata del promedio ARMÓNICO. III) «Cuando se tienen cantidades iguales, los promedios también son iguales»; entonces: IV) Para 2 cantidades «a» y «b» solamente : v) La media aritmética de toda progresión aritmética es igual a la semisuma de los términos equidistantes de los extremos o igual al término central, si lo hubiera. Cuando se tiene una cantidad IMPAR de términos enteros de una progresión aritmética, entonces; se cumple que el término central es igual a la media aritmética», Ejemplo:

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Razonamiento lógico matemático problemas resueltos de secundaria y pre universidad