LÓGICA MATEMÁTICA PROPOSICIONAL PROBLEMAS RESUELTOS DECO SAN MARCOS PDF

Aritmética EJERCICIOS DE CLASE 1. Dados los siguientes enunciados: I. La luna es un satélite de la tierra. II. 
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  • Si  0 x entonces  1 0 x x ,  x R III. ¿Quién ganará la copa mundial de la FIFA Rusia 2018? IV. El 12 de mayo de 1551 fue fundada la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. V. Si 0xy entonces   2 2 2 x y xy ; , xyR ¿Cuántas son proposiciones lógicas? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Solución: I. Si es p.l. II. Si es p.l. III. No es p.l. IV. Si es p.l. V. Si es p.l. Rpta.: D 2. Si la siguiente proposición (p  q)   (t  q) es falsa, determine el valor de verdad de p, q y t en el orden indicado. A) VFF B) VFV C) VVF D) FVV E) VVV Solución:  (p  q)   ( t  q ) V V F V V F pV qV t  F F Rpta.: C 3. Si la siguiente proposición p ↔ q es verdadera, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones en el orden indicado. I. (p  r)  (p  q) II.  (p  q) r III. [( p  q)  p]  q A) VVF B) FFV C) FVV D) FVF E) FFF Solución: Como la proposición p ↔ q es verdadera, entonces p y q tienen valores de verdad iguales. Luego I. (p  r)  (p  q)  F II.  (p  q)  r  V III. [( p  q )  p]  q  F Rpta.: D 4. Clasifique cada proposición como Tautología (T), Contradicción (┴) o Contingencia(C), según en el orden indicado. I) Estudio, ya que trabajo; dado que estudio. II) O si estudio entonces no trabajo, o si trabajo entonces no estudio III) O Mozart es un arquitecto o es un músico, pero Mozart es un músico A) T, ┴, C B) T,C,T C) T,C, ┴ D) T, ┴, T E) C,C, ┴ Solución: (I) (II) (III) p q p  ( q  p )  p ~ q  q~ p (p  q)  q ] V V V F F V F V F F F V V F V F F V F F Rpta.: A 5. Si el valor de verdad de la siguiente proposición: “O Gerardo es estudioso y alto, o es estudioso” es verdadero; entonces la afirmación verdadera es: A) No es cierto que Gerardo sea estudioso. B) Gerardo es alto y estudioso. C) Gerardo no es estudioso, pero es alto. D) Gerardo es alto, puesto que es estudioso. E) Si Gerardo es alto y estudioso, entonces es docente de la UNMSM. Solución: p: Gerardo es estudioso q: Gerardo es alto La proposición: “ O Gerardo es estudioso y alto, o es estudioso” queda representada por ( pq ) p ,luego como el valor de verdad de ( pq ) p es verdadero entonces p V , q  F Finalmente A) No es cierto que Gerardo sea estudioso.  : pF B) Gerardo es alto y estudioso.  : q p F C) Gerardo no es estudioso, pero es alto. : p q  F D) Gerardo es alto, puesto que es estudioso.  : p q F E) Si Gerardo es alto y estudioso, entonces es docente de la UNMSM. : (q  p)r  V Rpta.: E 6. Ana miente a su amiga Beatriz diciéndole: “No es cierto que, Lucho no vende naranjas y vende fresas; puesto que o vende naranjas o no vende sandias”. De las frutas mencionadas, ¿qué fruta (o frutas) vende Lucho? A) Sandias B) Fresas C) Sandias y Naranjas D) Fresas y Sandias E) Naranjas Solución: Sean p: Vende naranja q: Vende fresa r: Vende sandia ( p  r )  ( p  q )  ( p  r )  ( p  q ) Luego ( p  r )  ( p  q )  F F V F F V F De aquí p  F; q  V; r  F Rpta.: B 7. Antonia le dice a Martha: “Si cocinas o lavas toda la ropa, entonces no es cierto que; no vas a cocinar pero lavas toda la ropa”. Sería lo mismo que le dijera: I) No cocinas y lavas toda la ropa II) Cocinas y lavas toda la ropa III) Cocinas o no lavas toda la ropa IV) Cocinas y no lavas toda la ropa V) Si lavas toda la ropa entonces cocinas A) I o II B) I o IV C) Solo IV D) Solo III E) III o V Solución: Sea p : “Cocinas” q : “Lavas toda la ropa” Luego: ( p  q ) → ~ ( ~p  q ) ≡ ≡ ~(p  q )  ( p  ~q) ≡ ( ~p  ~ q )  ~q  p ≡ ~q  p ….. (III) ≡ q → p ….. (V) Por lo tanto: Es lo mismo que le dijera III o V. Rpta: E 8. De las siguientes proposiciones, determine cuáles son equivalentes: I. Es necesario que Sofía no vaya al cine para que termine su tarea. II. No es cierto que, Sofía termine su tarea y vaya al cine. III. Sofía no terminará su tarea y no irá al cine. A) I y II B) I y III C) II y III D) I, II y III E) Ninguna Solución: Simbolizando, las proposiciones simples son: p: Sofía va al cine q: Sofía termina su tarea I. Es necesario que Sofía no vaya al cine para que termine su tarea ~ p  q q~ p ~ q  ~ p  ~ p  ~ q II. No es cierto que, Sofía termine su tarea y vaya al cine. ~ q  p ~ q  p ~ q ~ p ~ p ~ q III. Sofía no terminará su tarea y no irá al cine. ~q ~ p  ~ p  ~ q Por lo tanto, son equivalentes I y II. Rpta: A 9. La siguiente proposición: “Rosita no va de viaje o Rosita se va de viaje, pero no va con mochila, implica que no va de viaje; pero va con mochila”, es equivalente a: A) Rosita se va de viaje B) Rosita no viaja C) Rosita va con mochila D) Rosita va sin mochila E) Rosita va sin mochila, pero se va de viaje Solución: p: Rosita se va de viaje q: Rosita está con mochila {[(~𝒑 ∨ 𝒑) ∧ ~𝒒] → ~𝒑} ∧ 𝒒 ≡ {[𝑻 ∧  voy al cine, entonces estoy de buen humor. II. Si estoy de buen humor, entonces estudio aritmética o iré al cine. III. Si no estoy de buen humor, entonces no voy al cine o estudio aritmética. IV. Si voy al cine estoy de buen humor, entonces estudio aritmética. A) I y III B) II y III C) I y IV D) I, III y IV E) II y IV Solución:  A EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N° 1 1. Lidia le pregunta a Beatriz, ¿cuántos de los siguientes enunciados son proposiciones lógicas? I) x2  0 II) Si (5 > 1)  (12 < 18) III) La Libertad es la capital de la Región Trujillo. IV) x + 2 = 5 Si Beatriz acertó en su repuesta, ¿qué alternativa marcó? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Solución: II y III son proposiciones lógicas. Rpta.: C 2. Si la siguiente proposición p  q es verdadera, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones en el orden indicado. I. (p  q)  r II. (p  q)  (p  q) III. [(p  r)  p]  q A) VVF B) VVV C) VFF D) FVF E) FFF Solución: Como la proposición p  q es verdadera, entonces p y q tienen valores de verdad opuestos. Luego I. (p  q)  r  V II. (p  q)  (p  q)  V III. [(p  r)  p]  q  F Rpta.: A 3. Clasifique cada proposición como Tautología (T), Contradicción (┴) o Contingencia(C); según en el orden indicado. I) p  q  p II) p  q  p III) (p  ~ q)  ~ p] A) T,C,C B) C,C,T C) T,C, ┴ D) C,C,C E) C,C, ┴ Solución: (I) (II) (III) p q p  q  p p  q  p (p  ~ q)  ~ p] V V F V V V F V V F F V V F V F F V V F Rpta.: D 4. Si p  q = (p  q)  q, simplificar (((((( p  q)  q )  q)  q)  q)  q)  q. A) ~ p  q B) ~ p C) p  q D) ~ p  q E) q Solución: Como p  q = (p  q)  q, entonces p  q = (~ p  q)  q = q Luego (((((( p  q)  q )  q)  q)  q)  q)  q = r  q = q r Rpta.: E 5. Determine, ¿cuál de las alternativas es equivalente a: “Juan estudia todos los días y, si Juan estudia todos los días entonces María estudia en la biblioteca; o, Juan no estudia todos los días y, Juan estudia todos los días dado que María no estudia en la biblioteca”? A) María estudia en la biblioteca B) Juan estudia todos los días C) Juan no estudia todos los días D) Juan estudia todos los días y María no estudia en la biblioteca E) No es cierto que María estudie en la biblioteca Solución: Sea p: “Juan estudia todos los días” q: “María estudia en la biblioteca” Luego [ p  ( p  q ) ]  [ p  ( q  p ) ] ≡ [ p  (p v q ) ] ˅ [ p  ( q v p ) ] ≡ [ p  q ] ˅ [ p  q ] ≡ [ p ˅ p ]  q ≡ V  q ≡ q Rpta.: A 6. La proposición: “Si Marisol no ama a Jaime entonces Jaime le pedirá el divorcio, pero si Jaime no pide el divorcio entonces Marisol ama a Jaime o Jaime es un cobarde, todo lo dicho es suficiente para que Jaime pida el divorcio y Marisol no ame a Jaime”, es equivalente a: A) Marisol no ama a Jaime. B) Jaime no es un cobarde. C) Jaime pedirá el divorcio a Marisol. D) Jaime no pedirá el divorcio a Marisol. E) Marisol ama a Jaime y Jaime no es un cobarde. Solución: p: Marisol ama a Jaime q: Jaime pedirá el divorcio r: Jaime es un cobarde { ( p →q) ˄ [~q → (p  r) ] } → ( q ˄  p ) ~ { (p ˅ q) ˄ [ q ˅ (p  r) ] }˅ ( q ˄  p ) ~ (p ˅ q) ˅ ( q ˄  p ) ≡ ~ p Rpta.: A 7. Un país no puede gastar dinero en distracciones como el futbol si no puede cubrir las necesidades primarias de su población. Sin embrago es muy cierto que al cubrir las necesidades primarias de su población entonces los aficionados se sentirán más contentos al ver un encuentro de futbol. Del argumento anterior podemos afirmar que: A) Si un país gasta dinero en distracciones como el futbol entonces cubre las necesidades de su población. B) Un país no puede gastar dinero en distracciones como el futbol salvo que cubra las necesidades de su población. C) Si las necesidades primarias de la gente se ven satisfechas entonces los aficionados se sentirán más contentos. D) Los aficionados se sienten más contentos si el país gasta dinero en distracciones como el fútbol. E) Los aficionados se sienten más contentos si las necesidades primarias son cubiertas. Solución: Simbolizando p: Gastar dinero q: Cubrir necesidades r: Aficionados más contentos Formalizando se tiene:         q p q r p q p r q r        ~ ~ Entonces Los aficionados se sienten más contentos si el país gasta dinero en distracciones como el futbol Rpta.: D 8. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es equivalente a: “Podré ver el partido, ya que compré una entrada o contraté servicio de cable”? A) Si compro una entrada y contrato servicio de cable, podré ver el partido. B) Si puedo ver el partido, contraté el servicio de cable o compré una entrada. C) Si contrato cable pero no compro entrada, no podré ver el partido. D) Si no compro entrada ni contrato cable, no podré ver el partido. E) Si no puedo ver el partido, entonces no contraté cable ni compré entrada. Solución: p : veo el partido. q : compro una entrada para el partido. r : contrato servicio de cable para el partido Premisa: qr p  ~ qr  p A) qr p  qr p B) pr  q~ p  r  q C) r ~ q~ p  ~ r ~ q ~ p D)  ~ q ~ r  ~ p  qr  ~ p E) ~ p(~ r ~ q)  p ~ (r  q) Rpta.: E 9. Un estudiante deportista del CEPREUNMSM en una conversación entre amigos enuncia el siguiente razonamiento: “Ingresaré si es que estudio; o ingreso pero no juego. Por lo tanto estudio o ingreso”, la expresión podemos reducirlo a: A) Estudio o ingreso B) Ingreso y juego C) Ingreso o juego D) Estudio e ingreso E) O estudio o ingreso S Rpta.: A 10. Si la proposición: “Te compro un carro si y solo si consigo el contrato; o si no consigo el contrato entonces nos vamos de viaje”, es falsa; ¿cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? A) Si consigo el contrato entonces te compro un carro. B) Nos vamos de viaje. C) Te compro un carro y nos vamos de viaje. D) No te compro un carro. E) Consigo el contrato y nos vamos de viaje. Solución: Simbolizando p: Te compro un carro q: Consigo el contrato r: Nos vamos de viaje En símbolos se tiene:  pq  ~ qr  F F F Entonces p V, q  F, r  F Rpta. : A

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