Razonamiento lógico matemático problemas resueltos de secundaria y pre universidad

Grados y polinomios ejercicios resueltos

Grado de expresiones algebraicas Características de toda expresión algebraica de acuerdo al valor que tendrán los exponentes que afectan a la parte literal. Los grados se clasifican en: a) Grado relativo a una variable: es el exponente de la variable mencionada. b) Grado absoluto de una expresión: cuando interesan los exponentes de todas las variables. Regla para hallar grados 1. PARA MONOMIOS. Su grado relativo es el exponente de dicha variable y su grado absoluto es la suma de los exponentes de la parte literal. Ejemplo: M = 85 x3 y2 G.R.(x) = 3 G.R.(y) = 2 G.A.(M) = 5 2. PARA POLINOMIOS. Es el mayor exponente si se trata de un grado relativo y es el término de mayor grado si es el grado absoluto. Ejemplo: M = 7x5y2 – 2x8y6 + 8x3 y9 G.R.(x) = 8 G.R.(y) = 9 G.A.(M) = 14 3. PARA PRODUCTOS. El grado absoluto o relativo, según sean el caso de cada factor se suman. Ejemplo: M(x,y) = (3x7–2y2+8x2y) (xy7 + 8x2) G.A.(M) = 7 + 8 = 15 G.R.(x) = 7 + 2 = 9 G.R.(y) = 2 + 7 = 9 Grados y polinomios UNIDAD 2 4. PARA UNA FRACCIÓN. Al grado respectivo del numerador, se le resta el grado respectivo del denominador. Ejemplo: M(x,y) = xy(x y ) 3x y 5x y 6x y 2 3 7 4 8 2 5 3 + − + G.A.(M) = 11–(2+3) = 6 G.R.(x) = 8–(1+2) = 5 G.R.(y)=4–(1+3) = 0 5. PARA UNA POTENCIA. Al grado respectivo de la base se le multiplica por el exponente. Ejemplo: M = 6 5 2 2 3 y x y x y x (x y)         + − + + G.A.(M) = 5 · 6 = 30 G.R.(x) = 2 · 6 = 12 G.R.(y) = 5 · 6 = 30 Polinomios importantes 1. POLINOMIO HOMOGENEO. Es aquel en el cual todos sus términos son de igual grado absoluto. Ejemplo: P(x,y) = 3x5y2 + 6x7 + 2x3y4 P(x,y) es homogéneo de grado 7 2. POLINOMIO ORDENADO. Un polinomio será ordenado con respecto a una variable. Si los exponentes de dicha variable están aumentando o disminuyendo a partir del primer término. Ejemplo: P(x,y) = x8 + x5 – 2x4 + 5x + 2 3. POLINOMIO COMPLETO. Un polinomio será completo con respecto a una variable, si dicha variable posee todos los exponentes desde el mayor hasta el exponente cero, inclusive. Ejemplo: P(x) = 2x3 + 3x2 + x4 – 2x + 6x0 4. POLINOMIOS IDENTICOS. Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a sus variables. En dos polinomios idénticos los coeficientes de sus términos semejantes son iguales. Es decir, si: ax2 + bx + c ≡ mx2 + nx + p Se cumple que: a = m ; b = n ; c = p 5. POLINOMIO IDENTICAMENTE NULO. Es aquel que se anula para cualquier valor de sus variables, es decir: ax2 + bx + c = 0 Se cumple: a = 0 ; b = 0 ; c = 0 Notación Polinomial Es la representación de un polinomio por medio de diferentes variables o estructura, cuando la variable adopta un valor constante se obtiene el valor numérico. Ejemplo: P(x) = x3 + 5x2 + 7 P(y) = y3 + 5y2 + 7 P(x–1) = (x – 1)3 + 5(x – 1)2 + 7 P(1) = (1)3 + 5(1)2 + 7 = 13 V.N. Ejemplo: Si: P(x) = 3x + 5 Hallar: a) P[P(x)] P[P(x)] = 3 P(x) + 5 = 3(3x + 5) + 5 P[P(x)] = 9x + 20 b) E = P(–2) + P(3) P(–2) = 3(–2) + 5 = –1 P(3) = 3(3) + 5 = 14 E = –1 + 14 = 13 P B 01. Sea el monomio: 2n 4 3n 1 5n 8 M(x,y,z) 5x y z − + − = Hallar su grado absoluto, sabiendo que GR(z)=12 a) 28 b) 29 c) 30 d) 27 e) 26 02. Hallar el valor de “n” para que el grado de: n 2 3 2x y  +    es 18 a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 8 03. Calcular el coeficiente de: 2 2 5a 3b 3 2b M(x,y) (a b )x y − + = + Sabiendo que GA=16 y GR(y)=7 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 4 04. Dado el monomio: 2a 2 3b M(x,y) (a b)x y − = + Hallar “ab”, si se sabe que: Coeficiente (M)=GR(x) y GA=27 a) 38 b) 39 c) 31 d) 35 e) 32 05. Se sabe que el grado absoluto del polinomio “F” es 11, hallar el valor de “n”: 3n 1 n 2n 2 2n n 3 3n F(x,y) x y x y x y − − − = − + a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 06. En el siguiente polinomio: a 3 b 2 a 2 b 3 P(x,y) 7x y 5x y + − + − = + Hallar “a+b” sabiendo que: GA=12 a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 07. Si el polinomio P(x) es completo, hallar “n”: n 1 n 2 n 3 P(x) x 3x x 5 + + + = + + + a) 7 b) 0 c) 8 d) 2 e) 4 08. Hallar (m+n+p), si se sabe que el polinomio: m10 mn5 pn6 P(x) x 3x 2x − − + − + = + + Es completo y ordenado descendentemente. a) 12 b) 32 c) 38 d) 16 e) 28 09. Si el polinomio: xmyn (4x4y2 + 5x3y3 ) Es completo, hallar (2m-3n) a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 10. Sabiendo que el polinomio es homogéneo. Calcular “mn” : x3m 2ny7 2x8y10 x2mym n 1 − + + − + a) 18 b) 19 c) 10 d) 16 e) 17 11. El grado del polinomio homogéneo es 10: ax3yaz2 + bxby6z − cxyzc Hallar la suma de sus coeficientes a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 12. Dado el polinomio homogéneo: 3 5 m n 4p P(x,y) = x y − 3x y + 7y Se sabe que: GR(x) = 6. Hallar el valor de (m+n+p) a) 11 b) 10 c) 7 d) 14 e) 4 13. Calcular (a2 + b2) Si: a(x − 2) + b(x + 3) ≡ 2x + 21 a) 30 b) 31 c) 32 d) 34 e) 38 14. Determinar “m2 – n2” en la siguiente identidad de polinomios: m(x − 2005) + n(x − 2003) ≡ x − 2007 a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) 7 15. Hallar “mn” si el polinomio es idénticamente nulo: (m+ n −18)xy2 + 2x2y + (n −m)x2y ≡ 0 a) 17 b) 21 c) 13 d) 15 e) 80 16. Si: P(x+1) = P(x) + x ; P(2) = 5 Calcular el valor de: P(4) a) 12 b) 14 c) 20 d) 10 e) 12 17. Si P(2x-3) = x+5; Calcular el valor de P(4x+1) a) 2x+5 b) 2x+7 c) 3x d) 2x-1 e) 2x+8 18. Sabiendo que: 2 3 2n P (x)= 1+ x + x + x + ... + x Calcular: S=P(1)+P(-1) -2n a) 0 b) 1 c) 2 d) 8 e) 4 19. Si: P(x) = ax+b ; Q(x) = bx+a Además. P(3)=3 y Q(1)=1 Calcular el valor de: P(Q(2007)) a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4 20. Sabiendo que: P(x) = 1+ 2 + 3 + 4 + ... + x Calcular el valor de: (x2 1) (x) (x 1) 7 b) 1 c) 2 d) 6 e) 8 CLAVES Álgebra EJERCICIOS DE CLASE Nº5 1. Se tiene una piscina de forma rectangular cuya medida del largo excede a la medida del ancho en 8 m, está piscina es rodeada por un pasillo enlosado de 2,5 m de ancho; si al sumar el área de la piscina con el área total del pasillo se obtiene un polinomio p(x), halle la suma del coeficiente principal con el término independiente de dicho polinomio. A) 36 B) 66 C) 45 D) 56 E) 46 Solución: Sean las medidas, en metros, de la piscina: Ancho: x; largo: x8 Entonces, el rectángulo que delimita la piscina tiene como medidas: Ancho: x  22,5  x  5 y largo: x  8  22,5  x 13      2 p(x) x 5 x 13 p x x 18x 65.          Coef. Principal + Término Ind.= 1 65 66.  Rpta.: B 2. Sea el polinomio p(t  2)  2t2  8t , tal que la gráfica del polinomio p(t) describe la trayectoria recorrida por un móvil en t segundos ( t0 ), ¿al cabo de cuántos segundos, dicho móvil caerá a tierra? A) 4s B) 3s C) 8s D) 2s E) 6s Solución:   2 2 2 i) De: p(t 2) 2t 8t 2(t 2) 8 p t 2t 8             i) Si el móvil cae a tierra, entonces p (t) 0  Luego:   p t  2t2  8  0 2t2 8 0 t 2.      Rpta.: D 3. Los esposos Alexander y Geraldine, se disponen ahorrar diariamente,   2x 1  y ax  2b  c  a soles, respectivamente. Si al cabo de x días, el ahorro de Alexander, disminuido en   c soles, representado por el polinomio p(x), coincidirá con el ahorro de su esposa, disminuido en b soles, ¿a cuánto ascendería la suma de los ahorros de ambos esposos, al cabo de a  b  c días, aumentado en p (2) soles? A) 17 soles B) 30 soles C) 10 soles D) 15 soles E) 21 soles Solución: 1) Al cabo de x días, Alexander ahorra 2x 1x soles y Geraldine ahorra ax  2b  c  ax soles         2 2 p(x) 2x 1 x c ax 2b c a x b 2x x c ax a c 2b x b a 2 ,a c 2b 1 , c b a 2 , c 1 , b 1                                2)     p(x) 2x 1 x c 2x2 x 1 p(2) 5          3) Luego en a b c 2    días, ambos esposos ahorrarán juntos: 22x 1x  22 14 12 soles Por tanto, la suma de ambos ahorros, aumentado en p(2) es 17 soles. Rpta.: A 4. En el polinomio r 2 4 m 2 m r p(x,y) ax y 5x y      se cumple que GRx px,y  7 y   GApx,y6 , halle el valor de 2m r.  A) 22 B) 28 C) 24 D) 20 E) 12 Solución: x   Como m r 0 m 2 r 2 GR p x,y m 2 7 m 9 9 r                           GA p x,y 2 r GA p x,y 2m 2 r Si 2 r 6 r 4 Cumple 9 r Si 2m 2 r 6 r 10 No Cumple 9 r 2m r 2 9 4 22                            Rpta.: A 5. Dado el polinomio 2 n 1 2 n b 2 a 3 2 d 5 p(x) dx a x b x n x         completo y ordenado en forma decreciente, halle la suma de los coeficientes del polinomio. A) 24 B) 12 C) 22 D) 36 E) 41 Solución: Como 2 n 1 2 n b 2 a 3 2 d 5 p(x) dx a x b x n x         es completo y ordenado descendentemente     2 2 2 2 d 5 0 d 5 a 3 1 a 4 n b 2 n 1 3 n 2 n 2 Si n 2 b 0 No pues p x es completo Si n 2 b 4 Suma de coeficientes : d a b n 41                                  Rpta.: E 6. Si p(2) y p(1) son las temperaturas en ºC, de las ciudades Piura y Pasco, respectivamente, donde        2 b 2 a 3 p(x) b 5 x a 5 x a 1 b         es un polinomio completo y ordenado, halle el promedio de las temperaturas de ambas ciudades. A) 8ºC B) 13ºC C) 15ºC D) 11ºC E) 7ºC Solución:             2 Como p x escompleto yordenado b 2 2 b 4 a 3 1 a 2 p x 11x 3x 12 p 2 26ºC, p 1 4ºC p 2 p 1 Pr omedio de Temperaturas 11ºC 2                        Rpta.: D 7. Dado el polinomio homogéneo 3a 3a 10 2 2b 1 2 a 10 b 8 2a c 3 p(x,y) 3x y 4x x y x y ,          halle el valor de c. A) 5 B) –2 C) 7 D) 9 E) –7 Solución: 3a 3a+10 3a +2b+1 5 b 2 2 2 2 3a+10 a b 18 a 20 a 30 2 a b 18 2a c 3 c 7                        Rpta.: E 8. Dado el polinomio homogéneo m t q q t r n n r p(x,y) x y x y x y x y       tal que la suma de todos sus exponentes es 50, halle el valor de m+t+q. A) 30 B) 20 C) 10 D) 25 E) 35 Solución: Como m t q q t r n n r ademas m t q q t r n n r 50 5m 50 m 10 t q m t q 20                            Rpta.: B EVALUACIÓN DE CLASE Nº 5 1 La altura, en metros, que alcanza un proyectil al cabo de t segundos está dada por un polinomio cuadrático  ht, que carece de término independiente y cuyo coeficiente principal es negativo. Si el coeficiente del término lineal de dicho polinomio es diez veces el opuesto de su coeficiente principal, ¿al cabo de cuántos segundos, el proyectil cae a tierra? A) 5s B) 12s C) 8s D) 10s E) 6s Solución: 1) h(t) mt2 10m t 2) Si el cohete cae a tierra, entonces   h t 0    2 2 Luego : h(t) mt 10 m t 0 mt 10mt t 10s.         Rpta.: D 2. Si     p(x b) b x 2 a x 2      tal que p(x)ax ; a0 , halle el valor de b. A) –4 B) –10 C) –8 D) –12 E) –6 Solución: De p(x b) bx  2 ax  2 , se tiene:           2 a(x b) b x 2 a x 2 2a b x ab 2b 2a 0 2a b ab 2b 2a 0 a 2a 2 2a 2a 0 2a 6a 0 a 3 b 6.                               Rpta.: E 3. Sea       2 2 p( x) a  2  2 x  b  a x  c  c a  2 un polinomio idénticamente nulo, donde a,b   . Además qx representa la ganancia por la venta de x unidades de un cierto artículo, si el precio unitario de venta y el costo unitario de dicho artículo son respectivamente ax soles y b soles halle el mayor valor de q(3) c. A) 20 B) 26 C) 28 D) 16 E) 18 Solución:      2 2 2 2 1) a 2 2 0 , b a 0 , c c a 2 0 De a 2 2 , b a , c c a 2 0 a 0 a 4 a 4 De b a b 4, luego b 4 De c c a 2 0 c c 2 0 c 2 c 1 0 c 2                                                     2 2)q x Ingreso Costo 4x x 4x q x 4x 4x        Por tanto máximo valor de q3 c  36 12  2  26. Rpta.: B 4. Si en el polinomio   p x,z = xm + n - 3zm + 2 +5xm + n + 3zm-3 +7xm + n-8zm + 1 se cumple que la suma de los grados relativos es 21 y el menor exponente de z es 2, halle el valor de 2n + m – 1. A) 16 B) 14 C) 18 D) 12 E) 20 Solución: Como m + n +3 +m + 2 =21  2m + n =16, ádemas m – 3 = 2  m = 5 así n = 6 Por tanto 2n + m – 1 = 16. Rpta.: A 5. Sean los polinomios idénticos       3 2 2 2 2 p(x)  2x  a b x  c  c  a b x  a b y 3 2 q(x)  ax  bx  cx  d. Si el valor del pasaje de Lima a Huancayo en una empresa de transportes es pa b  c  d  223 soles, ¿cuánto recauda la empresa por cada ómnibus de 60 pasajeros? A) S/ 3000 B) S/ 2500 C) S/ 3200 D) S/ 2400 E) S/ 4200 Solución:     p x q x              3 2 2 2 2 3 2 2x a b x c c a b x a b ax bx cx d a 2,b 1,c 1, d 3 a b c d 5 p 5 273 El valor del pasaje deLima aHuancayo : 273 223 50 soles La empresa recauda : 60 50 3000 soles.                               Rpta.: A 6. Dado el polinomio p ( x) completo y ordenado de forma creciente tal que sus coeficientes son números enteros pares consecutivos y ordenados con término independiente 4 y cuyo coeficiente principal es cuatro veces el término independiente, halle p(1) . A) 60 B) 65 C) 70 D) 80 E) 75 Solución: Según los datos tenemos: 2 3 4 5 6 p(x ) 4  6x  8x 10x 12x 14x 16x p1  70. Rpta.: C 7. El precio de cada lapicero, en soles, es mn 12 ; además se tiene un polinomio m 3 n m m n 7 p(x) 7 2x 3x 5x         , es completo y ordenado ¿Cuántos lapiceros se puede comprar como máximo con 35 soles? A) 18 B) 6 C) 10 D) 8 E) 17 Solución: 1) p(x) es completo y ordenado: m 3 1 m 4 n m 2 n 6         2) mn 6.4 Cada lapicero cuesta 2 soles 12 12 Con 35 soles compramos como maximo 17 lapiceros.    Rpta.: E 8. Si el grado del polinomio p(x) es 5, el grado del polinomio q(x) es 7 y si sus términos independientes son respectivamente 2 y 3, halle el grado del polinomio T(x) =      2 3 p x . 5q x aumentado en el producto de sus términos independientes. A) 32 B) 35 C) 37 D) 39 E) 31 Solución: 1) Grado(p(x)) = 5 y Grado (q(x)) = 7 2) Grado(   2 px = 5.2 = 10 y Grado(    3 qx = 7.3 = 21 3) Grado(       2 3 p x . q x ) = 10+21 = 31 4) Luego 31+ 2.3 = 37 Rpta. : C 10

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