Factorización problemas resueltos

Álgebra-Factorización de Polinomios POLINOMIO SOBRE UN CONJUNTO Los polinomios con coeficientes en ( , , , ó ) forman un conjunto denotado por x ;es decir x p x / p x es un polinomio con coeficientes en . Por ejemplo, el polinomio p( x ) 3x2 4x 2 [x] pues sus coeficientes 3, 4 y 2 pertenecen a . DEFINICIÓN Sean f x , g x en x , g x 0. Decimos que g(x) es un divisor de f(x) en x (o g(x) divide a f(x) en x ) si existe h(x) x tal que f(x) = h(x) . g(x) DEFINICIÓN Sean f x , g x , h x en x tal que GA f x 1. Decimos que f(x) es un polinomio irreducible o primo sobre x si f x h x .g x implica que h(x) o g(x) es un polinomio constante. Si f(x) no es irreducible sobre x decimos que es reducible o factorizable sobre x . Como consecuencia se puede deducir que todo polinomio de grado 1 es irreducible. Ejemplos 1) p x x2 7x 12 es reducible en x , pues p x x 4 x 3 ; además los coeficientes 1, 7,12 2) p x x2 3 es reducible en x , pues p x x 3 x 3 ; además los coeficientes 1, 3, 3 3) p x x2 3 es irreducible en x . 4) q x x2 5 es irreducible en x y x , pero es reducible en x , porque q x x 5 i x 5 i , donde los coeficientes 1, 5 i, 5 i pertenecen a FACTOR PRIMO DE UN POLINOMIO Decimos que g(x) es un factor primo de un polinomio p(x), si g(x) es un divisor irreducible de p(x) en x . Ejemplos 1) Los factores primos del polinomio 2 3 6 son : x , (x 1) y (x 5) en x . 2) El factor x + 1 3 en x , no es primo porque x + 1 3 x + 1 2 x + 1 . DEFINICIÓN DE FACTORIZACIÓN La factorización, es el proceso algebraico mediante el cual un polinomio se puede expresar como la multiplicación indicada de sus factores, sobre un conjunto . TEOREMA DE LA FACTORIZACIÓN ÚNICA Sea = ó , entonces todo polinomio f x x 0 puede ser escrito en la forma f x a.p1 x . . . pm x donde a 1 2 m 0 y p x , p x , . . . ,p x son todos polinomios irreducibles sobre x . Más aún, tal expresión es única salvo la constante a y el orden de los polinomios p1 x , p2 x , . . . , pm x . Ejemplo El polinomio 2 en x , admite la siguiente factorización única Excepto: En otro orden: Factores afectados por constantes no nulas: NÚMERO DE FACTORES Y FACTORES PRIMOS DE UN POLINOMIO Supongamos que a b c m p(x) p1(x). p2(x). p3(x) ... pn (x); a, b,...,m + donde p1(x), p2(x), p3(x),..., pn(x) son factores primos y primos entre si dos a dos, en un conjunto entonces a) El número de factores primos de p(x) es n. b) El número de factores (o divisores) de p(x) está dado por: Nº de factores = (a 1)(b 1)(c 1)...(m 1) 1 Ejemplo Sea el polinomio p(x) ( x 4) 7 ( x 2) 4( x 5) , tenemos que: El número de factores primos de p(x ) es 3. ( No se cuenta el número de veces que aparece el factor ) Número de factores de p( x ) es (7 + 1)(4 + 1)(1 + 1) 1 = 79 MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN 1. Factor Común por agrupación de términos: Consiste en observar si el polinomio tiene uno o más factores comunes, que pueden ser monomios o polinomios. Ejemplo 4 3 x . Solución: 4 3 3 3 3 2 2 2 p x x 3x 8x 24 p x x x 3 8 x 3 x 3 x 2 x 3 x 2 x 2x 4 x 3 (x 2) ( x 1) ( 3 i ) p x x 3 (x 2) x 1 3 i ( x 1 3 i) 2. Por Adición o Sustracción (QUITA y PON): Consiste en convertir binomios ó trinomios a trinomios cuadrados perfecto (T.C.P). El procedimiento a seguir lo presentamos en los siguientes ejemplos. Ejemplos i) Factorizar p x x4 1 en x . Solución: p(x) = x4 + 1 x2 1 2(x2) 1 2x2 Luego de extraer la raíz cuadrada a ambos términos, pasamos a considerar siempre el doble del producto de dichos resultados, obteniendo el término que deberemos sumar y restar. Entonces sumamos 2x2 (PON) y restamos 2x2 (QUITA) para completar un trinomio cuadrado perfecto y además obtener una diferencia de cuadrados. 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 por lo tanto 2 2 ii) Factorizar p x,y x4 x2y2 y4 en x ,y . Solución: p x,y x4 y4 x2y2 x2 y2 2(x2)(y2) = 2x2y2 Observemos que p(x,y) no es un trinomio cuadrado perfecto (T.C.P.), para que p(x,y) sea T.C.P., análogamente al ejemplo anterior, el segundo término debe ser 2x2y2, lo cual se consigue sumando x2y2 (PON) y para que no se altere la igualdad se resta x2y2 (QUITA), así tenemos 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Entonces 2 2 2 2 3. Aspa Simple: Se emplea para factorizar trinomios de la forma: p(x) = Ax2n +Bxn +C ó p(x,y)=Ax2n+Bxnym+Cy2m ; m, n +. Para factorizarlo descomponemos el primer y tercer término. Ejemplo Al factorizar p x,y 12x2 17xy 6y2 en [x, y], halle la suma de factores primos. Solución: p x,y 12x2 17xy 6y2 4x 3y 4x( 2y) = 8xy 3x 2y 3x(3y) = 9xy + 17xy Entonces p x,y 4x 3y 3x 2y , asi la suma de factores primos es 4x 3y 3x 2y 7x 5y. 4. Cambio de Variable: Consiste en ubicar expresiones algebraicas iguales en el polinomio a factorizar, para luego hacer un cambio de variable, que nos permita transformar una expresión complicada en otra más sencilla. Ejemplo Halle el número de factores primos, al factorizar p( x) [ x 3 2 2][ x x 6 5] 28 en x . Solución: p( x) x2 6x 7 x2 6x 5 28 Observamos que x2 6x es una expresión común, entonces hacemos el cambio de variable y x2 6x , por lo tanto obtenemos q(y) (y 7)(y 5) 28 Entonces q(y) y2 2y 63 aplicamos aspa simple, entonces q y y 9 y 7 Finalmente recuperamos la variable x, p( x ) (x2 6x 9)(x2 6x 7) p( x ) (x 3)2( x 7)(x 1) en x . Asi se tiene 3 factores primos. 5. Divisores Binómicos: Se utiliza para factorizar polinomios de una sola variable, de cualquier grado y es útil para encontrar divisores lineales (es decir de primer grado). TEOREMA Sea el polinomio en x n n 1 n n 1 0 n C.P. T.I p(x) a x a x ..... a , a 0 . Entonces las posibles raíces racionales de p(x) son de la forma c b , con b y c primos entre sí, donde, b es un divisor del término independiente 0 a y c es un divisor del coeficiente principal n a . En particular, si p(x) es mónico (es decir 1 n a ), entonces las posibles raíces de p(x) son de la forma b (raíces enteras), donde b es un divisor del término independiente. Ejemplo Dado el polinomio p x x3 3x2 10x 8 , halle el número de factores de p( x ) en x Solución: Observamos que p(x) es un polinomio mónico, las posibles raíces enteras son los divisores del término independiente 8, es decir { 1, 2, 4, 8}. Utilizando el método de división por Ruffini, probamos que x= 1 es raíz de p(x) y por tanto (x + 1) es un factor primo de p(x) en x En efecto: 1 3 10 8 1 1 2 8 1 2 8 0 x2 + 2x + 8 Factor Primo en x Entonces p x x 1 ( x2 2x 8) Por lo tanto, el número de factores es (1+1) (1 + 1) 1 = 3. 6. Aspa Doble: Se utiliza en la factorización de polinomios de la forma: p(x,y)=Ax2n+Bxnym+Cy2m+Dxn+Eym+F; m,n . En particular si m = n = 1, tenemos p(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F . Para factorizarlo ordenamos el polinomio en la forma general, si faltara algún término se completa con términos de coeficiente cero y luego se aplican tres aspas simples. Ejemplo Factorizar p x,y 21x2 5xy 4y2 5x 11y 6 , en x ,y . Solución: p(x,y) = 1er 2do 3er 4to 5to 6to 21x2 5xy 4y2+ 5 x 11y 6 7x 4y 3 3x y +2 (I) (II) Observamos las siguientes aspas simples: Primera aspa simple (I), se obtiene de los términos: 1er , 2do y 3er . Segunda aspa simple (II), se obtiene de los términos: 3er , 5to y 6to . Tercera aspa simple, se obtiene del 1er , 4to y 6to término, esta aspa nos permite verificar todo el proceso. Por lo tanto p( x,y) ( 7x 4y 3)( 3x y 2) 7. Aspa Doble Especial: Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: p(x)=Ax4n+Bx3n+Cx2n+Dxn+E; n . En particular, si n = 1 tenemos: p(x)=Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E. Para factorizarlo ordenamos el polinomio en forma decreciente completando los términos faltantes con términos de coeficiente cero. Descomponemos los términos extremos, tratando de que el aspa simple entre ellos se aproxime al término central. Ejemplo Factorizar p(x) = 2x4 3x3 3x2 34x 24 en x . Solución: p(x) = 2x4 3x3 3x2 34x 24 2x2 4 = 4x2 + x2 6 = 12x2 8x2 Observa que a 8x2 le falta 5x2 para ser 3x2, luego p(x) = 2 x4 3 x3 +3 x2 34 x 24 5x2 2x2 5x 4 x2 1 x 6 Luego obtenemos: 2 2 fp fp p(x)=(2x -5x-4)( x +x+6) en x . Ejemplo Al factorizar p(x) = x4 3x3 2 x2 3x 1 en x , halle la suma de los factores primos lineales. Solución: p(x) = x4 3x3 2 x2 3x 1 x2 1 = x2 x2 1 = x2 2x2 Observación que a 2x2 le falta 4x2 para ser 2x2, luego p(x) = x4 3 x3 2 x2 3 x 1 4x2 x2 4x 1 x2 1 x 1 Luego obtenemos: 0 0 p( x ) (x2 4x 1 )(x2 x 1 ) en x . 2 2 f p f p f p p( x ) ((x 2) 3 )( x x 1) p( x ) ( x 2 3 )( x 2 3 )( x x 1), luego la suma de los factores primos lineales esta dado por x 2 3 x 2 3 2x 4. 2 2 OBSERVACIÓN Podemos usar el método de adición y sustracción (Quita y Pon) y elmétodo de factorización del aspa simple para factorizar algunos polinomios de grado impar, el objetivo es buscar la presencia de diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos, etc. Ejemplos i) Factorizar p x x6 4x3 4x2 4 en x . Solución: p(x) x6 4 x3 4( x2 1 ) , x3 2( x 1) x3 2( x 1) Entonces p(x) ( x3 2x 2)( x3 2x 2) . ii) Factorizar p(x) x5 x4 2x2 2x 1 en x . Solución: Álgebra EJERCICIOS DE CLASE Nº 10 1. Liliana a sus x años inicia su negocio de venta de limonada en botellas. El primer día vendió tantas limonadas como su edad. El segundo día vende tantas veces las limonadas como la cantidad vendidas el primer día. El tercer día, Liliana vende tantas veces las limonadas como las que vendió el día anterior. El cuarto día vendió x5 botellas de limonada. Si p(x) representa la cantidad de limonadas vendidas en los cuatro días, ¿cuántos factores tiene p(x) en   x ?. A) 4 B) 12 C) 10 D) 11 E) 6 Solución: 2 2 2 4 5 2 4 5 3 2 3 2 2 Pr imer día vende : x limonadas segundo día vende : x(x) x limonadas tercer día vende : x (x ) x limonadas cuarto día vende : x limonadas p(x) x x x x x(1 x ) x (1 x ) x(x 1) (x x 1) Total fact(p(x)) (2)(3)(2) 1 11                  Rpta.: D 2. El ingreso mensual (en soles) de una familia limeña está determinado por el producto de los factores primos mónicos de 4 p(x,y)  (x  y)  x4  y4  2x2y2 en   x,y evaluados en x 10 e y 5  , ¿cuánto ahorra la familia mensualmente, si su gasto mensual es el 80% del ingreso mensual?. A) 367 soles B) 350 soles C) 375 soles D) 400 soles E) 357 soles Solución:   4 4 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 p(x,y) (x y) x y 2x y (x y) (x y ) (x y) (x y) (x y) (x y) (x y) (x y) p(x,y) 2(x y) (x y ) El producto de los factores primos mónicos de p(x,y) en x,y es (x y)(x y El ingreso mensual de la familia es                              (15)(100 25) (15)(125) 1875 soles El ahorro mensual 20%(1875) 375 soles       Rpta.: C 3. Las edades (en años) de los amigos Luis y Angel están representados por el número de factores de 4 3 2 p(x)  x 5x  2x  20x  24 y 4 3 2 q(x)  x  4x  2x 12x  9 en   x respectivamente, halle la diferencia positiva de dichas edades. A) 4 años B) 3 años C) 8 años D) 5 años E) 7 años Solución: 2 2 2 2 2 2 2 Factorizando por aspa doble especial p(x) (x 4x 4)(x x 6) (x 2) (x 3)(x 2) Núm fact(p(x)) (3)(2)(2) 1 11 q(x) (x 6x 9)(x 2x 1) (x 3) (x 1) Núm fact(q(x)) (3)(3) 1 8 Diferencia deedades 11 8 3 años                             Rpta.: B 4. Halle la suma de factores primos de 2 2 p(x,y)  24x 10xy  6y  36x  y 12 en x,y . A) 10x  y  7 B) 4x  6y 12 C) 8x  y  5 D) 10x  y 7 E) 10x  2y 7 Solución: 2 2 Aplicando aspa doble p(x,y) 24x 10xy 6y 36x y 12 p(x,y) (4x 3y 4)(6x 2y 3) Piden (4x 3y 4) (6x 2y 3) 10x y 7                    Rpta.: A 5. En la clase de factorización el profesor Nicolás pide a sus estudiantes que analicen estas tres proposiciones:  El polinomio p(x)  2x2 3x 1 tiene dos factores primos en x.  El polinomio 3 p(x) x 2x 2    es factorizable en x .  El polinomio 2 p(x) 4x 2x 1    es primo en x . El profesor Nicolás evalúa las respuestas de los estudiantes Hugo, Paco y Luis que respondieron FVV, VFF y VFV respectivamente. ¿Quién o quienes respondieron correctamente al menos 2 proposiciones?. A) Solo Hugo B) Solo Paco C) Solo Luis D) Luis y Hugo E) Paco y Luis Solución: 2 2 p(x) 2x 3x 1 17 0 p(x) tiene 2 raíces reales ... (V) p(1) 1, p( 1) 3, p( 2) 2, p(2) 6 p(x) no tiene raíces enteras ... (F) p(x) 4x 2x 1 12 0 p(x) no tiene raíces reales ... (V)                          Rpta.: E 6. Halle la suma de los factores primos de 6 5 4 3 2 p(x) x 3x 37x 71x 276x 68x 240        en   x . A) 6x 3  B) 6x1 C) 6x1 D) 6x 7  E) 6x 4  Solución Factorizando por divisores binómicos p(x) (x 1)(x 1)(x 2)(x 4)(x 6)(x 5) f.p(p(x)) (x 1) (x 1) (x 2) (x 4) (x 6) (x 5) 6x 3                       Rpta.: A 7. En un aula de 50 estudiantes del segundo ciclo de Economía de la UNMSM que cursan “Geometría analítica” se sabe que, el total de factores en  x del polinomio 6 5 p(x)  x  x  x4  x3  x2  x  6(x2  x 1) representa el número de docenas de estudiantes aprobados. ¿Cuántos estudiantes desaprobaron el curso de “Geometría analítica”? A) 38 B) 26 C) 36 D) 32 E) 14 Solución: 6 5 4 3 2 2 4 2 2 2 4 2 Por agrupación de términos p(x) x x x x x x 6(x x 1) p(x) x (x x 1) x(x x 1) 6(x x 1) p(x) (x x 6)(x x 1) Núm de fact (2)(2) 1 3 Núm de estudiantes aprobados 3(12) 36 Núm de estudiantes desaprobados 50 36                                  14 Rpta.: E 8. El mayor término independiente de los factores primos de 5 4 3 2 p(x) x 7x 10x x 7x 10       en x es la cantidad de horas que dura un viaje por avión de Lima a México DF. Si Enrique llegó a México DF a las 10 a.m. y quiere ir a Puebla, ¿a qué hora llegó Enrique a Puebla, si bajar del avión y conseguir un auto hacia Puebla le tomó 30 min y el auto hizo el traslado en la mitad del tiempo que duró su viaje en avión? A) 11 a.m. B) 4 p.m. C) 7 p.m. D) 1 p.m. E) 3 p.m. Solución: 5 4 3 2 3 2 2 3 2 2 Agrupando términos adecuadamente p(x) x 7x 10x x 7x 10 p(x) x (x 7x 10) (x 7x 10) p(x) (x 1)(x 7x 10) (x 1)(x x 1)(x 2)(x 5) Tiempo de Lima a México DF : 5 horas 5 Tiempo de México DF a Puebla 30 min horas 3 horas Enrique llegará a Puebla a 1 p.m. Rpta.: D EVALUACIÓN DE CLASE Nº10 1. Los hermanos Gregorio y Javier poseen un negocio de renta de autos TAXI. La cantidad de autos TAXI que posee Gregorio es igual al número de factores primos de   5 4 3 2 G(x)  x 3x  23x  51x  94x 120 en x y la cantidad de autos que posse Javier es igual al producto del número de factores primos de G(x) con el núnero de factores primos de   4 3 2 J(x)  x  5x 11x 12x  6 en x . Si por la renta de cada auto reciben J(2) soles diariamente, ¿cuánto recibirá Javier por la renta de todos sus autos en un día?. A) S/ 2600 B) S/ 650 C) S/ 1300 D) S/ 1040 E) S/ 1170 Solución: 2 2 Factorizando por divisores binómicos G(x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) entonces Gregorio tiene 5 autos TAXI Factorizando por aspa doble especial J(x) (x 3x 3)(x 2x 2) Javier tiene (5)(2) 10 autos TAXI Javier recibe de renta po              r el alquiler de sus 10 autos TAXI 10.J(2)  (10)(130)  1300 soles. Rpta.: C 2. Dados los polinomios 4 2 4 p(x)  x 3x 10 y q(x)  x  4 , halle la suma de factores primos de p(x) y q(x) factorizados en   x , respectivamente. A) 6x B) 4x C) 10 x D) 8x E) 5x Solución: 2 2 2 2 Factorizando por aspa simple y diferencia de cuadrados p(x) (x 5)(x 2) (x 5 )(x 5 )(x 2i)(x 2i) q(x) (x 2)(x 2) (x 2i)(x 2i)(x 2)(x 2) Piden f.p. (x 5 ) (x 5 ) (x 2i) (x 2i) (x 2i)  Rpta.: D 3. Sean los polinomios 4 2 6 4 3 p(x)  (x 13x  36) (x  x  7x2  x  6) y 3 3 2 2 q(x)  (x 1) (x  x 1)(2x  x 1) , determine la diferencia positiva entre, la suma de los exponentes de los factores primos de p(x) en  x con la suma de los exponentes de los factores primos de q(x) en x. A) 12 B) 4 C) 19 D) 16 E) 3 Solución: Piden 28 9 19                      Rpta.: C 4. Sea f(x) el factor primo lineal de menor término independiente en   x del polinomio 2 2 2 p(x)  (x  x 1)  3x  3x 15 . Si h(x)= 26x  39  f(x) modela el ingreso (en soles) de alquilar un stand en un centro comercial durante x días, ¿cuánto se pagará por 20 días de alquilar dicho stand?. A) 460 soles B) 540 soles C) 660 soles D) 420 soles E) 470 soles Solución: 2 2 2 2 2 2 2 2 p(x) (x x 1) 3(x x 1) 18 (x x 1) 6 (x x 1) 3 p(x) (x x 7)(x x 2) (x x 7)(x 2)(x 1) entonces f(x) x 1 h(x) 26x 39 (x 1) 25x 40 soles h(20) 25(20) 40 540 soles                                         Rpta.: B 5. El número de factores primos de 3 3 p(x,y) x 28y 3xy(x y)     en   x,y representa la cantidad de estuches de lapiceros que compró Jesús y la suma de coeficientes de p(x,y) representa el precio (en soles) de cada estuche de lapicero, ¿cuánto gastó Jesús en la compra? A) 70 soles B) 90 soles C) 42 soles D) 27 soles E) 120 soles Solución:      3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 p(x,y) x 28y 3xy(x y) x y 3xy(x y) 27y (x y) (3y) (x y) 3y (x y) (x y)(3y) (3y) p(x,y) (x 4y)(x xy 7y ) Cantidad de estuches 2 Precio de cada estuche p(1,1) (5)(7) 35 soles Gasto total (2)(35) 70 soles.                              Rpta.: A 6. La mayor suma de coeficientes de un factor primo de 4 3 2 p(x)  x  x  2x 9x 9 en   x representa la velocidad constante de un móvil en m/s. ¿Cuánto tiempo empleará dicho móvil en recorrer 36 km? A) 1 hora B) 2 horas C) 36 min D) 3 horas E) 18 min Solución: 2 2 2 Factorizando por aspa doble especial p(x) (x x 3)(x 2x 3) (x x 3)(x 3)(x 1) la suma de coeficientes de los factores primos es 5, 2 y 2 5m 1km 3600 s entonces v 18 km/h s 1000m 1h Tenemos 36 18.(t) t 2 h                   Rpta.: B 7. Lunié, Alexandra y Nicole factorizan 2 p(x)  (x 1)(x  2) (x  3) 5x(x  4) 27 e intercambian conclusiones, así: Lunié: p(x) tiene dos factores primos cuadráticos en x . Alexandra: p(x) tiene 3 factores primos lineales en x . Nicole: p(x) tiene 4 factores primos en x . ¿Quién o quienes factorizaron correctamente? A) Solo Alexandra B) Solo Nicole C) Lunié y Nicole D) Lunié y Alexandra E) Lunié, Alexandra y Nicole Solución:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 p(x) (x 1)(x 3) (x 2) 5x(x 4) 27 p(x) (x 4x 3)(x 4x 4) 5(x 4x) 27 Hacemos un cambio de var iable u x 4x (u 3)(u 4) 5u 27 u 2u 15 (u 5)(u 3) entonces p(x) (x 4x 5)(x 4x 3) Tenemos p(x) (x 4x 5)(x 4x 3) en x                                          2 ...(V) p(x) (x 4x 5)(x 2 7)(x 2 7) en x ... (F) p(x) (x 2 i)(x 2 i)(x 2 7)(x 2 7) en x ... (V)                 Rpta.: C 8. Determine un factor primo de 2 2 2 2 2 2 p(x) (x 7)(  x 1)(x 9)(x 1) 16x (x 8)  31 en   x . A) 2 x4 B) 2 x4 C) x2 D) 2 x 8x  2 E) 4 2 x 8x  2 Solución: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Haciendo un cambio de var iable : a x (a 7)(a 1)(a 9)(a 1) 16a(a 8) 31 (a 8a 7)(a 8a 9) 16(a 8a) 31 cambio de var iable : b a 8a tenemos (b 7)(b 9) 16b 31 b 14b 32 (b 16)(b 2) (a 8a) 16 (a 8a) 2 (a 4) (                                             2 2 2 4 2 2 2 4 2 a 8a 2) en a Por lo tanto p(x) (x 4) (x 8x 2) en x p(x) (x 2) (x 2) (x 8x 2) en x             Rpta.: C

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO EJERCICIOS RESUELTOS

Razonamiento lógico matemático problemas resueltos de secundaria y pre universidad