Razonamiento lógico matemático problemas resueltos de secundaria y pre universidad

División de polinomios ejercicios resueltos

División Algebraica Operación que se realiza entre polinomios que consiste en hallar dos polinomios llamados COCIENTE y RESIDUO, conociendo otros dos polinomios denominados DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra ligados por la relación: D(x) = d(x) q(x) + r(x) Donde: D(x) : Dividendo d(x) : Divisor q(x) : Cociente r(x) : Residuo o Resto Propiedades de la división Gdo. (D(x)) ≥ Gdo. (d(x)) Gdo. (q(x)) = Gdo. (D(x)) – Gdo.(d(x)) Gdo. (r(x)) < Gdo. (d(x)) Además: Máximo Gdo. (r(x)) = Gdo. (d(x)) – 1 Principales metodos de división Metodo de William G. Horner Pasos a seguir: 1. Coeficiente del dividendo ordenado decrecientemente en una variable, completo o completado. 2. Coeficientes del divisor ordenado decrecientemente en una variable, completo o completado, con signo contrario salvo el primero. 3. Coeficientes del cociente que se obtienen de dividir la suma de los elementos de cada columna entre el primer coeficiente del divisor. Cada coeficiente del cociente se multiplica por los demás coeficientes del divisor División de polinomios UNIDAD 4 2 1 3 4 línea divisoria para colocar dichos resultados a partir de la siguiente columna en forma horizontal. 4. Coeficientes del residuo que se obtienen de sumar las columnas finales una vez obtenidos todos los coeficientes del cociente. Esquema general Observación: La línea divisoria se colocará separando tantos términos de la parte final del dividendo como grado del divisor. Método de Paolo Ruffini Se utiliza cuando el divisor es de primer grado. Pasos a seguir: 1. Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente, completo o completado, con respecto a una variable. 2. Valor que se obtiene para la variable cuando el divisor se iguala a cero. 3. Coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna, luego que el coeficiente anterior se ha multiplicado por (2) y colocado en la siguiente columna. 4. Resto de la división que se obtiene de sumar la última columna. Esquema general 2 1 3 4 Observación: Si el coeficiente principal del divisor es diferente de la unidad, el cociente obtenido se deberá dividir entre este valor. Teorema del resto Se utiliza para obtener el resto de una división. Consiste en igualar a cero al divisor y despejar la mayor potencia de la variable, para que sea reemplazada en el dividendo. Observación: Después de realizar el reemplazo, debe comprobarse que el grado del polinomio obtenido sea menor que el grado del divisor. P B 1. Dividir: x x x x x x 4 3 2 2 4 6 7 2 2 1 + + − + + + Indicando el resto. a) 1-10x b) 1+11x c)1-11x d) 10x-2 e) 4x-1 2. Indicar el término independiente del cociente en la división: 4 3 2 2 28x 2x 7x 22x 16 7x 3x 5 + − + − − + a) 1 b) 2 c) -3 d) 4 e) -5 3. Dividir: Hallar (p+q) si la división: x p x q x x 4 2 2 3 3 1 + − + + + + ( ) Es exacta: a) 1 b) -2 c) 2 d) -1 e) 8 4. Calcular “a+b” si la división es exacta: 4 2 2 6x 13x ax b 2x 4x 5 − + − − + a) 41 b) 42 c) 43 d) 48 e) 45 5. Determinar “a+b” si la división: 4 3 2 2 12x 12x 13x ax b 2x 3x 5 − + + − − + Deja como resto x+8. a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 6. Dividir: Hallar (a + b) si la división: x x x a x b x x 4 3 2 2 4 6 2 3 2 1 − + − + + + + + ( ) Deja por resto: -27x - 11 a) 3 b) -3 c) 0 d) 4 e) -2 7. Determinar la suma de coeficientes del cociente de la siguiente división: 3x5 5x4 7x3 15x2 9x 25 x 2 − + − + − − a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35 8. Hallar el resto en la siguiente división: 5 16 8 2 3 x4 x3 x x + − + + a) 1 b) -2 c) -1 d) 4 e) 10 9. Calcular la suma de coeficientes del cociente al dividir: 3 1 6 3 8 2 5 2 − − + + x x x x a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10. Hallar el resto en: 15 8 9 7 1 5 1 x4 x3 x2 x x − − + + − a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 11. Calcular el resto de la siguiente división: 2x4 3 2x3 12x2 3 2x 2 x 2 + − + − − a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 12. Hallar el resto al dividir: 3 2 6 2 2 5 2 2 3 2 2 7 − + + + + + x x x x x a) 7 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8 13. El residuo de la división: 6 6 5 3 2 2 4 3 2 2 3 4 2 2 x x y x y xy y x xy y − − + − + − Es igual a: (-16) Cuando “y” es igual a: a) -3 b) 0 c) 2 d) 5 e) 3 14. Determinar (a+b) para que el polinomio: P(x) = x4 – 3x3 + ax + b Sea divisible por (x2 – 2x + 4) a) 8 b) -24 c) -16 d) -20 e) 16 15. Calcular “a”: x3 (2 7)x2 (2 7 15)x 15 7 a x 7 − + + − + + − Si el resto de la división es “2a - 4” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 16. Hallar el resto: 2008 2008 16 2 x (x 2) (x 1) x 2x 1 + + + + − a) 128 b) 256 c) 3 d) 64 e) 257 17. Calcular el resto: 2 (x 5)(x 1)(x 4)(x 2) x 14 x 3x 2 + − + − + − + − a) x+1 b) x+2 c) x+3 d) x+4 e) x+ 5 18. Hallar el resto en: ( )( )( )( ) ( )( ) x x x x x x x 2 1 2 4 2 9 2 4 81 4 5 15 − − − − − + − + a) 21 b) 27 c) 24 d) 29 e) 25 19. Calcular el resto en la división: 10 7 2 (x 5) (x 6) 6 x 11x 30 − + − + − + a) 2x-1 b) 2x-5 c) 2x-4 d) 4x e) 5 20. Calcular el resto en la división: 16 15 32 33 3 2 2x x 2 4x 2x x x 3x 3x 2 + + + + + + + + a) 4+x2 b) 4-x2 c) 5-x2 d) 6-x2 e) 7-x2 CLAVES Álgebra EJERCICIOS DE CLASE Nº 7 1. Un polinomio p(x) de grado n cuyo término independiente es 6 tiene como factor a n 1 n 2 x x 2   . Si p(x) es disminuido en 16 y en 250, será divisible por x 1 y x 2 respectivamente. Determine el grado de  3 p(x) . A) 9 B) 6 C) 18 D) 15 E) 21 Solución:   n 1 n 2 n 1 n 2 1 n 1 n 2 2 Sea p(x) (x x 2)(ax b) pues grad p(x) n dato 1:p(0) 6 2b 6 b 3 p(x) (x x 2)(ax 3) ... (1) dato 2 : p(x) 16 (x 1).q (x) si x 1 en (1) : (4)(a 3) 16 a 1 p(x) (x x 2)(x 3) ... (2) dato 3 : p(x) 250 (x 2).q (x)                                        n 1 n 2 3 si x 2 en (2) : (2 2 2)(5) 250 n 6 grad p(x) (6)(3) 18               Rpta.: C 2. Al dividir p(x)  ax4 8x2  5x 1 por 2 d(x)  x  3x 1 se obtienen como cociente 2 q(x) x 3x 2    y residuo r(x) mx 1   , tal que 8am representa la edad actual de Jesús. ¿Cuál la será la edad de Jesús dentro de 10 años?. A) 6 años B) 8 años C) 17 años D) 14 años E) 12 años Solución: Usando el algoritmo de la división 4 2 2 2 4 2 2 ax 8x 5x 1 (x 3x 1)(x 3x 2) mx 1 ax 8x 5x 1 (x 3x 1)(x 2)(x 1) mx 1 Si x 1 entonces a 4 m 1 a m 5 ... (1) Si x 2 entonces 16a 23 2m 1 8a m 12 ... (2) De (1) y (2) : a 1 y m 4.                                      La edad actual de Jesús es 8a m 8(1) (4)  4 años. Dentro de 10 años, Jesús tendrá 14 años. Rpta.: D 3. Determine el residuo de la división 5 3 2 2x 6x ax 7 x 3     si el coeficiente del término lineal del cociente es 45. A) 398 B) 381 C) 372 D) 412 E) 400 Solución: Usando el método de Ruffini, se tiene: 5 3 2 4 3 2 2x 6x ax 7 (x 3) 2x 6x 24x         (a  72)x (3a  216) (9a  641) Por dato, el coeficiente lineal del cociente es – 45 entonces a  72  45  a  27 luego r(x)  9(27)  641 398. Rpta.: A 4. El premio para el ganador de un concurso de álgebra en una Institución Educativa es a b 2 soles donde 3 5 G(t)  a  2t bt  t es divisible por 2 D(t) 1 t 3t    . ¿Cuánto dinero obtendrá el ganador? A) 90 soles B) 100 soles C) 126 soles D) 80 soles E) 96 soles Solución: 5 3 2 t 2t bt a Tenemos que la división es exacta. t 3t 1 Efectuando por Horner, obtenemos r(x) (b 71)x (a 27) entonces a 27 y b 71             El premio es a b  2  27 (71)  2 100 soles . Rpta.: B 5. Un hacendado ha comprado vacas y bueyes, donde el número de vacas es el doble del número de bueyes. Por cada vaca pagó n-15 dólares y por cada buey pagó m+15 dólares, donde m y n son los coeficientes del término lineal e independiente respectivamente del residuo de la división de 6 4 3 2 p(x)  x  7x  3x  x  84x  87 por 3 d(x)  x  2. Si el importe de la compra fue 2700 dólares, ¿cuántas vacas compró?. A) 12 B) 20 C) 36 D) 10 E) 24 Solución: 6 4 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 2 x 7x 3x x 84x 87 x 2 (x ) 7(x )x 3(x ) x 84x 87 (x ) 2 Por el teorema del resto x 2 luego r(x) ( 2) 7( 2)x 3( 2) x 84x 87 entonces r(x) x 70x 85 m 70 y n 85. Por cada vaca pagó n 15 (85) 15 70 dólares Por cada bu                                  ey pagó m 15 (70) 15 85 dólares Sean t : número de bueyes y 2t : número de vacas entonces 85(t) 70(2t) 2700 t 12.         El número de vacas compradas fue 24. Rpta.: E 6. Si r(x) 2x 1es el resto que se obtiene al dividir p(x)  ax4 bx3 7x2 12x 7 por 2 d(x) 3x 2, halle 5a b  . A) 6 B) 1 C) 10 D) 8 E) 0 Solución: 4 3 2 2 2 3 4 2 (ax bx 7x 12x 7) (2x 1) La siguiente división es exacta 3x 2 6 10x 7x bx ax reordenando y aplicando Horner : 2 3x a 3 obtenemos r(x) (b 15)x (a 3) b 15                        Piden 5a b  5(3) (15)  0. Rpta.: E 7. El último dígito de la placa de rodaje del automóvil de Helena viene dado por la suma de los coeficientes del resto que se obtiene al dividir el polinomio 6n p(x)  (x 3) (x  3) por d(x)  (x  2)(x  4) . Halle ese último dígito. A) 4 B) 3 C) 1 D) 2 E) 7 Solución: Por el algoritmo de la división 6n (x 3) .(x 3) (x 2)(x 4).q(x) ax b Si x 2 : 2a b 5 ... (1) Si x 4 : 4a b 7 ... (2) De (1) y (2) : a 1 y b 3 r(x) x 3                   El último dígito de la placa es r(1) 4  . Rpta.: A 8. El profesor Nicolás durante la clase de álgebra le pide a sus estudiantes que efectuen la siguiente división   367 2 x2 x x 1 . El estudiante Hugo afirma que la suma de coeficientes del cociente es 0, el estudiante Paco asegura que el residuo es  2 x x 2 y el estudiante Luis dice: “profesor Nicolás, el grado del cociente es 365”. ¿Qué estudiante o estudiantes dieron respuesta correcta? A) Paco y Luis B) Luis C) Hugo, Paco y Luis D) Hugo y Luis E) Paco y Hugo Solución: 367 368 367 2 3 368 367 3 122 2 3 122 3 122 2 122 2 f f x 2 x 1 x x 2x 2 . x x 1 x 1 x 1 el dividendo es : x x 2x 2 (x ) x (x ) x 2x 2 aplicando el teorema del resto para x 1 se obtiene el resto falso: r (x) ( 1) x ( 1) x 2x 2 x x 2 r (x) (x 2)(x 1)                                     367 2 r(x) x 2 Por el algoritmo de la división x 2 (x x 1).q(x) x 2 367 2 grd q(x) grd q(x) 365 si x 1 entonces 1 (1).q(1) ( 1) q(1) 0.                     Rpta.: D EJERCICIOS DE EVALUACION 1. Al efectuar la división n 11 n 10 n 9 x x x ... x 1 x 1          se obtiene que la suma de coeficientes del cociente es nueve veces el resto. Si n 4 n 3 x x ... x 1       representa la cantidad de papayas que Julián debe colocar en cajas que contengan x 1 papayas ¿Cuántas papayas le sobraran? A) 1 B) 5 C) 0 D) 3 E) 2 Solución: Aplicando Rufinni: 1 1 1 1 …. 1 1 x=1 1 2 3 n+11 1 2 3 4 n+11 n+12   (n 11)(n 12) 9 n 12 n 7 2       Luego el número de papayas que debe repartir Julián es: x11  x10 ... x 1. 11 10 11 10 2 x x ... x 1 Al dividir x 1 Por el teorema del resto: x 1 r ( 1) ( 1) ... ( 1) ( 1) 1 1 1 ... 1 1 1 0                           No sobra ninguna papaya, se logra encajonar todas exactamente. Rpta.: C 2. Cierta cantidad de dinero (en soles) expresado en términos de x es dado por 8 2 6 3 2 E(x) x m x 3x 5x 37      . Si dicho dinero se reparte a x + 1 personas sobra m soles. ¿Cuánto dinero sobra si se reparte a xm personas? A) 368 soles B) 250 soles C) 128 soles D) 287 soles E) 187 soles Solución: Por teorema del resto   2 2 8 6 3 2 E( 1) 1 m 3 5 37 a m m 30 (m 6)(m 5) 0 m 6 m 5 luego E(x) x 25x 3x 5x 37 es la cantidad de soles que se tiene                        E(x) se desea repartir entre x  5 personas. Por teorema del resto 8 2 6 3 2 E(5)  5  5 .5  3.5  5.5  37  287 . Sobrará 287 soles. Rpta.: D 3. Si 3 2 p(x)  6x 5x  ax 1 es un polinomio, donde p(x) representa el precio de venta (en soles) de x lapiceros y además 2x 1 es un factor de p(x) cuyo cociente es de la forma 2 q(x) mx nx  r . Determine el precio de venta de r  2 lapiceros. A) 122 soles B) 73 soles C) 44 soles D) 98 soles E) 64 soles Solución: Aplicando Ruffini a la división exacta 3 2 2 3 2 2 6x 5x ax 1 a 4 a 6 se obtiene q(x) 3x 4x y r(x) 2x 1 2 2 a 6 Como la división es exacta 0 a 6. 2 El polinomio es p(x) 6x 5x 6x 1 El cociente es q(x) 3x 4x 1 r 1 r 2 3                               3 lapiceros cuestan p(3) 98  soles. Rpta.: D 4. Halle el resto de la siguiente division     2017 2017 5 5 5 5 x 6x 7 x 6x 9 5x 30x 50 x 6x 8           . A) 8 B) 12 C) 9 D) 11 E) 10 Solución:         5 5 2017 2017 5 5 5 2017 2017 5 5 5 2017 2017 5 5 5 8 8 8 Por el teorema del residuo : x 6x 8 0 x 6x 8 El dividendo es : D(x) x 6x 7 x 6x 9 5x 30x 50 x 6x 7 x 6x 9 5(x 6x 10) r(x) x 6x 7 x 6x 9 5 x 6x 1                                                        2017 2017 0 r(x) 1 1 5 2 8.            Rpta.: E 5. Un empresario va a repartir las utilidades de su empresa que ascienden a 21 20 x  x  3 soles entre sus 2 x  x 1 empleados, donde x representa el número de horas que labora cada empleado por día de tal manera que sobre 14 soles. ¿Cuántas horas por día labora cada empleado? A) 8 B) 9 C) 7 D) 10 E) 6 Solución: Utilidades en soles. 21 20 x x 3 Número de trabajadores 2x x 1. Horas laboradas por día: x 21 20 21 20  3 7 3 6 2  2 3 3 3 7 6 2 2 2 x x 3 (x x 3)(x 1) (x ) (x ) x 3 (x 1) x x 1 x 1 (x ) 1 Por el teorema del resto x 1 luego r(x) (1) (1) x 3 4 x pero x x 1 entonces r(x) 4 ( x 1) x 5 Dato : r(x) 14 x 9.                                 Cada empleado labora 9 horas al día. Rpta.: B 6. Si la división: 4 3 2 2 2 2 ax b(1 a)x (a b )x b(b 1)x (2ac ac 3c) x bx (c 1)             tiene como residuo 2 r(x) bcx 2c, calcule la suma de coeficientes del cociente, sabiendo que a.b.c 0  . A) 3 B) 2b C) a+3 D) b+3 E) 5 Solución: Dividiendo por Horner: 1 a b ab  2 ab 2bb 2 2ac  ac  3c b ab b a ac  1- c 2b ac b  bc abc 2 ac  ac a b ac  2 b bc abc   ac3c el cociente es: 2 q(x)  ax  bx  ac el residuo es: 2 2 r(x)  (b bc  abc)  (ac  3c)  bcx  2c 2 b  bc  abc  bc entonces b  ac  2c … (1) 2 ac  3c  2c entonces a  3  2c … (2) (1) + (2) : tenemos: a  b  ac  3  0 implica a  b  ac  3 La suma de coeficientes del cociente es a  b  ac  3. Rpta.: A 7. Una moto con velocidad variada (en kilometros) recorre una carretera desde el punto A hasta el punto B en un tiempo de t horas. Si el polinomio 2 p(x)  (x 3)(x  4)  2(x  4) es divisible por x  a, x b y x  t donde a km/ h y b km/ h son la velocidad inicial y la velocidad final respectivamente de la moto en su recorrido total, determine el desplazamiento máximo efectuado por la moto. A) 20 km B) 15 km C) 22 km D) 9 km E) 14 km Solución:     2 max a b Se sabe B A t 2 p(x) (x 3)(x 4) 2(x 4) (x 4) (x 3)(x 4) 2 p(x) (x 4)(x 2)(x 5) también p(x) (x a)(x b)(x t) tomando adecuadamente a 2, b 4 y t 5 (2) (4) B A (5) 15 metros 2                                        El máximo recorrido que pudo hacer la moto fue de 15 km. Rpta.: B 8. La edad de Tomi está dado por la suma de cifras de 2 E  (a  n) donde a y n son parámetros que se obtienen cuando al dividir el polinomio p(x) por 2 d(x)  x  x  2 , se obtiene por cociente n 2 q(x)  x  2x  a y por resto r(x)  5x 9 , además p(x) es de quinto grado y es divisible por x-1. ¿Cual será la edad de Tomi dentro de 10 años? A) 19 B) 13 C) 15 D) 18 E) 14 Solución: Por el algoritmo de la división tenemos que 2 n 2 p(x)  (x  x  2)(x  2x  a)  5x 9 , luego como el polinomio es de quinto grado se tiene que n=3, además p(x) es divisible por x1 , sigue que p(1) 0 , es decir: p(1) (1 1 2)(1 2 a) 5 9        Por lo que a3 entonces a n 6   . Así E  36 cuya suma de cifras es 9. La edad de Tomi es 9 años, dentro de 10 años será 19. Rpta.: A

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