FRACCIONES EJERCICIOS RESUELTOS DE SECUNDARIA O MEDIA

Al finalizar el presente capítulo, el lector estará en la capacidad de: Esclarecer y profundizar el concepto de fracciones dentro del campo de los números racionales. Potenciar el manejo adecuado de una fracción como expresión de comparación de dos cantidades. Desarrollar la habilidad y destreza en el manejo de fracciones en la solución de problemas usando el artificio de particionar a un todo (entero) en forma de fracciones. INTRODUCCIÓN E l concepto de fracciones se manejo desde hace muchos siglos atrás, pero debido a su manejo ligero, se toman conceptos alejados de lo real. Nos corresponde entonces esclarecer dichos conceptos y criterios un tanto errados, manejando por supuesto las experiencias que afrontamos a diario como por ejemplo cuando indicamos la hora (10 1/4 h por ejemplo) o cuando adquirimos en el mercado 3/4kg de arroz y nos cobran por ese producto S/. 1 ½. NOCIONES PREVIAS Número Racional Es aquel que está representado por una división indicada de dos números enteros, donde el entero que hace de divisor es diferente de cero. Los números racionales forman el conjunto de los números racionales (Q). Notación: Al conjunto de los números enteros que excluye el cero se denota: Z Números Racionales (Q) Números Irracionales (Q’) FRACCIÓN Se denomina así a todos los números racionales que cumplen las siguientes condiciones: Numerador Fracción: Denominador donde: g a y g «b» no debe ser divisor de «a» Ejemplo: Identifique cuáles de las siguientes expresiones representa a una fracción: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) ® Respuesta: a y h REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FRACCIÓN Para representar gráficamente a una fracción, consideremos lo siguiente: Unidad Es la totalidad de una cantidad referencial. Ejemplo 1: Unidad <> 5 partes iguales. Ejemplo 2: Para graficar una fracción en la cual el numerador es mayor que el denominador, es necesario considerar la unidad varias veces. Principales tipos de fracciones Fracción Propia Son aquellas en la cual el numerador es menor que el denominador. Al hacer la división correspondiente , el resultado es menor que la unidad. Ejemplo: Fracción Impropia Son aquellas en la cual el numerador es mayor que el denominador. Al hacerla división correspondiente , el resultado es mayor que la unidad. Ejemplo: Cuando 2 fracciones poseen la misma característica entonces para compararlas se puede usar el criterio de la multiplicación en aspa. Ejemplo: ¿Cuál es mayor: ? * Multiplicación en aspa: * Luego: Fracción Reductible será cuando su numerador y denominador poseen factores en común (no son primos entre sí). Ejemplo: Fracción Irreductible será cuando su numerador y denominador no poseen factores en común (son primos entre si). Ejemplo: Fracciones Homogéneas Es un conjunto de fracciones que tiene igual denominador. Ejemplo: Fracciones Heterogéneas Es un conjunto de fracciones que tienen diferente denominador. Ejemplo: Ejemplo Aplicativo 1: ¿Cuántas fracciones impropias e irreductibles de denominador 4 son menores que 20? F. Irreduct.: a no es par F. Impropias: a>4 * Fracción: < 20 a < 80 * Luego: a(impar): 5, 7, 9, 11, 13, ........., 77, 79. 38 valores ® Respuesta: 38 fracciones Ejemplo Aplicativo 2: ¿Cuántos valores puede tomar ‘x”, sabiendo que, es una fracción propia e irreductible mayor que ? Fracciones Equivalentes Son aquellas fracciones que utilizando términos diferentes, expresan una misma parte de la unidad. Las 3 Fracciones representadas expresan la mitad del todo. Luego, también podemos notar donde: Ejemplo Aplicativo 3: Se tiene una fracción equivalente a , la suma de los términos de dicha fracción es 27. Determine la diferencia de dichos términos. Resolución: Para trabajar con la fracción equivalente a , previamente la reducimos buscando su fracción canónica. Fracc. equiv.: * Dato: 2K + 7K = 27 Þ K = 3 * luego la fracción equivalente es: ® Respuesta: 21 - 6 = 15 Fracción de Fracción Es una fracción tomada de otra fracción respecto de la unidad. Ejemplo: Determine la mitad de la 3ra. parte de la mitad de un todo. Ejemplo Aplicativo : En una reunión se sabe que eran varones. De las mujeres: eran casadas y 6 solteras ¿Cuánto representa la tercera parte del total de varones? Resolución: N° de varones : 36 ® (N° de varones) = 12 Relación parte todo Viene a ser la comparación geométrica de una cantidad asumida como parte, respecto de otra cantidad asumida como un todo. Luego: g ¿Que fracción de 36 es 24? Resolución: Es ® de ® Operaciones con Fracciones Adición y Sustracción Para sumar o restar fracciones homogéneas se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador. Si las fracciones son heterogéneas se hacen irreductibles, luego se le da un denominador común y se procede como en el caso de las homogéneas. Ejemplo: Simplificar: A) B) C) D) E) Resolución: Primero convertimos los números mixtos a fracciones: * Ahora hallamos el MCM de los denominadores: MCM (3; 5; 2; 6; 9) = 90 * Luego: Multiplicación y División Para multiplicar dos o más fracciones, se multiplican los numeradores y denominadores, respectivamente. Para dividir dos fracciones, se multiplica la fracción dividendo por el inverso de la fracción divisor. Ejemplo: Simplificar: A) B) C) D) E) Resolución: Convertimos primero los números mixtos a fracciones: Luego: Números Decimales Concepto El número decimal es una forma de representar el número real en el sistema decimal posicional de numeración. El número decimal: donde N es un número natural y n1, n2, n3, ..., nk, ..., cifras del sistema decimal de numeración, es la expresión condicional del número real. Un número real consta de dos partes: la entera, que se separa mediante una coma, y la parte decimal. Tal como se muestra con el ejemplo siguiente: 625 , 0457523333... Clases de Números Decimales A Números Decimales Limitados Es el número decimal que tiene un número determinado de cifras decimales. Por ejemplo: 1,24 2,0023 b Números Decimales Ilimitados No Periódicos Es el número decimal que tienen infinitas cifras decimales, que no contiene ningún número o grupos de números decimales que se repitan de forma periódica. Por ejemplo: 3,1415926535... = p 1,41421356... = 0,101001000 100001... c Números Decimales Ilimitados Periódicos Es el número decimal que tiene infinitas cifras decimales que contiene algún número o grupo de números decimales que se repiten indefinidamente. Estos números se clasifican en puros y mixtos. 1 Números Decimales Periódicos Puros : Es el número decimal en el que el periodo empieza inmediatamente después de la coma decimal. Por ejemplo: 2 Números Decimales Periódicos Mixtos : Es el número decimal en el que el período o grupos de cifras decimales que se repiten, no empieza inmediatamente después de la coma decimal. Por ejemplo: Conversión de Algunos Números Decimales a Fracciones a Números Decimales Limitados Por ejemplo: b Números Decimales Periódicos Puros Por ejemplo: c Números Decimales Periódicos Mixtos Por ejemplo: * PROBLEMA 1 ¿Cuál es el número que es igual a 38 veces a la décima parte de ? A) B) C) D) E) Resolución: * Sea N el número,luego por condición: PROBLEMA 2 Al simplificar el producto: Se obtiene: A) B) C) D) E) Resolución: * Efectuando la sustracción en cada factor, tendremos: * Simplificando: PROBLEMA 3 Restar de ; de restar ; sumar las diferencias y agregar este resultado , a la suma de con los de la mitad de 3,3. Los del resultado total es: A) B) C) D) E) Resolución: * Ahora: * Se pide: PROBLEMA 4 En un salón de clases hay 90 alumnos y se observa que la séptima parte de las mujeres son rubias y la onceava parte de los hombres usan lentes. ¿Cuántos hombres no usan lentes? A) 40 B) 30 C) 50 D) 60 E) 45 Resolución: tiene onceava (es multiplo de 11) tiene séptima (es multiplo de 7) H + M = 90 11 79 No 22 68 No 33 57 No 44 46 No 55 35 Si PROBLEMA 5 Un ovillo pesa 171 kg, más los de los de de su peso. ¿Cuánto pesa el novillo en kilogramos? A) 217 kg B) 209 C) 231 D) 192 E) 313 Resolución: * Por condición del problema tendremos: Peso del ovillo:........... (peso del ovillo) *Resolviendo: 231kg. PROBLEMA 6 Un avión aterriza, empleando los 3/4 de una pista de aterrizaje; al despegar emplea los 3/5 de la pista; si en total, lo que deja de recorrer, tanto al despegar como al aterrizar, es 390 m, ¿cuál es la longitud de la pista? A) 520 m B) 860 C) 600 D) 730 E) 420 Resolución: Longitud de pista: x Al aterrizar Al despegar x = 600 La longitud de la pista es 600 m PROBLEMA 7 Juan le pregunta a Jorgito: ¿Cuántos cuartos hay en cinco medios y luego le preguntó por el número de cuartos que existen en cinco y medio. Diga Ud., alumno, cuál es el número total de cuartos que respondió Jorgito. A) 10 B) 22 C) 14 D) 32 E) 44 Respondiendo a las 2 interrogantes 10 + 22 = 32 PROBLEMA 8 Al cajero de una compañía le falta 1/9 del dinero que se le confió. ¿Qué parte de lo que le queda restituiría lo perdido? A) B) C) D) E) Resolución: *Dinero que se le confió: 9K.......(suposicion) * Se le perdió: K * Le quedó: 8K * Hay que restituir S/. K y esto es 1/8 del dinero que le quedaba. PROBLEMA 9 Con el dinero que tuve, compré un artículo y observé que el dinero que no gasté es los 2/3 de lo que gasté. ¿Qué parte de lo que me queda debo agregar para volver a tener lo que tuve? A) 2/3 B) 4/5 C) 5/4 D) 7/3 E) 3/2 Resolución: Gasté = (no gasté) = Entonces: Gasté No Gasté 2 3 Tuve = 5 Para volver a tener lo que tuve debo agregar 2/3 de lo que me queda. PROBLEMA 10 Hallar una fracción equivalente a 12/15, tal que la suma de sus términos sea un número par de tres cifras, el menor posible. Dar como respuesta la suma de cifras del numerador. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 15 Resolución: Sea la fracción equivalente * Luego 9k = # par de 3 cifras (mínimo) * cumple cuando k = 12 * Luego, el numerador sera : 4(12) = 48 Suma de cifras 4 + 8 = 12 PROBLEMA 11 Luis gasta 1/8 de su dinero en pasajes y cuatro veces aquella cantidad en alimentos; si los S/.90 que le restan los ahorra. ¿Cuánto tenía al principio? A) 240 B) 360 C) 120 D) 150 E) 200 Resolución: * Sea el dinero inicial = S/. 8k Pasajes Alimentos Resto S/. k S/. 4k S/. 90 S/. 3k k = 30 Dinero inicial: 8(30)= S/. 240 PROBLEMA 12 Un tanque de agua puede ser llenado en 15 minutos y vaciado en 40 minutos. ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque si se abre la llave y el desagüe simultáneamente? A) 24’ B) 18’ C) 20’ D) 26’ E) 30’ Resolución: A: en 1 min llena: y B: en 1min vacía: A y B en 1 min llenan: A y B en 1 min llenan: A y B llenan todo en 24 min. PROBLEMA 13 Ana gastó 2/5 de lo que no gastó y luego perdió 1/3 de lo que no perdió. Al final recupera 1/5 de lo que le quedaba, por lo que ahora tiene S/.180. ¿Cuánto gastó al inicio? A) 30 B) 80 C) 90 D) 50 E) 120 Resolución: *empe zando por el ultimo dato se obtendrá: * Luego lo que gastó al inicio fue 2 × 40 = 80 PROBLEMA 14 Luego de gastar hoy las 2/13 de lo que no he gastado, me robaron los 2/5 de lo que no me robaron; si la mitad de lo que me queda es igual a la enésima parte de lo que ayer tuve. ¿qué fracción representa lo que aún tengo respecto de lo que he gastado el día de hoy? A) 65/4 B) 65/14 C) 7/13 D) 14/65 E) 13/14 Resolución: * Analizando las condiciones en los gráficos mediante valores asumidos adecuadamente Gasto(2) No Gasto(13) Me roban(2) No me roban(5) Nos piden: PROBLEMA 15 Una persona gasta 1/3 del dinero que tiene y gana 1/3 de lo que le queda. Si ha perdido en total 12 soles. ¿Cuántos tuvo al inicio? A)S/.108 B) 92 C) 112 D) 120 E) 80 Resolución: * Supongamos que tiene 9k soles entonces: Ahora Tiene Gasta Queda Gana tiene 9k 3k 6k 2k 8k * perdida total k= 12 Por dato * Luego, al inicio tuvo: 9(12) = 108 soles PROBLEMA 16 En un juego perdí los 3/5 de lo que no perdí, ¿qué parte de lo que perdí, tenía al inicio? A) 2/7 B) 3/8 C) 8/3 D) 5/11 E) 6/13 Resolución: *pues Perdí = * Nos piden la relación parte todo: PROBLEMA 17 En una asamblea la séptima parte de las mujeres usa gafas, mientras que la octava parte de los hombres tiene auto. Si desde que empezó la reunión sólo se fueron 6 parejas, quedando reducido el total a 41. ¿Cuántas mujeres no usan gafas? A) 12 B) 16 C) 18 D) 21 E) 40 Resolución: Total personas =los que quedaron + los que se fueron Total = 41 + 12 = 53 Mujeres + hombres = 53 7M + 8H = 53 3 4 7(3) + 8(4) = 53 Mujeres = 21 y Hombres = 32 *Luego: Mujeres que no usan gafas = PROBLEMA 18 Una piscina se ha estado desocupando durante 3 días, hasta que solamente ha quedado 10 galones de agua. En cada día se extraía sus 2/3 partes, más 3 galones. ¿Cuál es el volumen total desalojado hasta el momento? A) 201 B) 307 C) 377 D) 251 E) 620 Resolución: * Si sale siempre de lo que hay más 3 galones entonces siempre va quedando de lo que había menos 3 galones. * Luego de 3 días ha quedado: x = 387 Volumen desalojado: 387 - 10 = 377 PROBLEMA 19 Una obra puede ser hecha por “A” y “B” en 6 días, por “B y C” en 8 días, y por “A” y “C” en 12 días. La obra es empezada por los 3 juntos y cuando ya han hecho las 3/4 partes “A” se retira, “B y C” continúan hasta que hayan hecho la mitad de lo que quedaba, entonces se retira “B”, terminando “C” lo que falta de la obra. ¿En cuántos días se hizo la obra? A) 8 B) 9 C) 12 D) 3 E) 11 Resolución: * Sea una obra = 48 m de pared Obreros Obra(48m) 1 día A + B 6 días 8 m … (I) B + C 8 días 6 m A + C 12 días 4 m 2(A + B + C) 18 m A + B + C 9m … (II) * de (I) y (II) se deduce que C en un día 1 m Tiempo pedido : 11 días 1 Calcular: A) -0,3 B) C) 0,6 D) E) 1 2 Calcular: A) 6 B) 5 C) 7 D) 8 E) 3 Calcular la mitad de los tercios de un cuarto. A) B) C) D) E) 4 ¿Qué parte de 91 es 52? A) B) C) D) E) 5 ¿Qué fracción es 34 de 28? A) B) C) D) E) 6 Indicar una fracción que al dividirla entre su recíproca, resulta 9/4. A B) C) D) E) 7 ¿Cuántos tercios hay en tres unidades? A) 3 B) C) D) 9 E) 1 8 Una vaca pesa 90 kg más 1/10 del peso de su cría, y la cría pesa 90 kg más 1/10 del peso de su madre. ¿Cuánto pesan las dos juntas? A) 195 kg B) 210 C) 205 D) 200 E) 180 9 A un albañil le preguntaron cuántos hombres tenía su cuadrilla y él respondió: “Los hombres no son muchos, tres cuartos de los que somos, más tres de los hombres, es toda mi gente”. ¿Cuántos hombres tiene el albañil? A) 10 B) 20 C) 15 D) 24 E) 16 10 Hallar dos números tal que sumados den 16 y cuya inversa de su diferencia sea 1/4. Calcular la inversa de la suma de cifras de ambos números. A) B) C) D) E) 11 Los 2/3 de 6/5 de 3/4 del doble de x es igual a los 2/5 de x². Hallar x A) 3 B) 5 C) 7 D) 8 E) 10 12 Si la razón de la suma con la diferencia de 2 números enteros positivos es 5/3, ¿cuál es el número mayor si su producto es 64? A) 4 B) 32 C) 8 D) 16 E) 64 13 Si recorrí 3/7 de un camino, ¿qué fracción de lo que recorrí es el exceso de lo que no recorrí sobre lo que recorrí? A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/5 E) 1/6 14 El área del cuadrado (II) es el cuádruplo del área del cuadrado (I). ¿Qué fracción de la región sombreada en (I) representa lo sombreado en (II)? A) 1/2 B) 2/5 C) 1/3 D) 2/7 E) 3/5 15 Si a los términos de 3/7 le aumentamos 2 números que suman 500, resulta una fracción equivalente a la original. ¿Cuáles son los números? A) 100 y 400 B) 150 y 350 C) 200 y 300 D) 130 y 37 E) 250 y 250 16 Los 2/9 de un terreno le pertenecen a Juan y los 3/5 del resto a Pedro. Si los 14 m² que quedan le pertenece a José, ¿qué área tenía el terreno repartido? A) 45 m² B) 90 m² C) 135 m² D) 80 m² E) 105 m² 17 ¿Qué fracción representa los 3/5 de 15/7 respecto de los 8/3 de 9/16? A) 6/7 B) 7/6 C) 8/5 D) 5/8 E) 9/20 18 El área de la región sombreada, ¿qué parte representa respecto del área de la región no sombreada? (ABCD es un cuadrado). A) 8/9 B) 2/5 C) 3/5 D) 7/8 E) 3,8 19 La suma de un número más los 3/4 del mismo es igual a 21 unidades, más la mitad de aquella suma. ¿Cuál es la tercera parte de dicho número? A) 6 B) 24 C) 8 D) 12 E) 16 20 El precio de un artículo se rebaja en 1/2 de 1/5 de su valor ¿En qué fracción hay que aumentar este nuevo precio para volverlo a su valor original? A) 10/9 B) 1/9 C) 1/10 D) 2/5 E) 2/11 18 Dos grifos “A” y “B” pueden llenar un estanque en 6 horas. El grifo “A” funcionando solo, puede llenarlo en 15 horas. Estando vacío el estanque, se abre el grifo “B”. ¿En cuántas horas lo llenará? A) 5 horas B) 10 horas C)15 horas D) 17 horas E) 20 horas 19 Un recipiente está lleno de vino, primero se extrae 1/2 del contenido y se reemplaza con agua. Luego se extrae 1/3 de la mezcla y se reemplaza con vino. Después extrae 1/4 de la nueva mezcla y reemplaza con agua. Al final, ¿qué fracción del recipiente quedó con vino? A) 1/3 B) 1/5 C) 1/4 D) 1/2 E) 2/3 20 Hace dos años, Pepe pesaba 1 kg. menos, si entonces el cociente entre su peso y su edad era 5/3 y ahora el cociente está entre 1 y 6/5; ¿qué edad tiene Pepe? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 21 Una persona va al supermercado con cierta cantidad de dinero. En su primera compra gasta 3/4 de su dinero, más S/.20; luego gasta 1/5 del resto, menos S/.10; finalmente gasta 1/2 de lo que le queda, más S/.5. Si sólo se quedó con S/.15, ¿cuánto gastó en el supermercado? A) S/.230 B) S/.215 C) S/.245 D) S/.200 E) S/.185