Razonamiento lógico matemático problemas resueltos de secundaria y pre universidad

RELOJES Y CRONOMETRÍA EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

Aprender a resolver los problemas sobre: tiempo transcurrido y tiempo que falta transcurrir, adelantos y atrasos,  ángulo entre agujas, calendarios.
Reforzar la capacidad de obtracción, adquerida en planteo de ecuaciones.
PROBLEMAS SOBRE TIEMPO TRANSCURRIDO
PROBLEMAS SOBRE
ADELANTOS Y ATRASOS
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  • En esta parte la referencia es a problemas relativos a relojes que presentan imprecisiones como atrasos y adelantos, pues bien la forma de abordarlos que se sugiere, es mediante planteamientos de Reglas de tres simples, teniendo en cuenta lo siguiente : g Hora marcada (hora falsa) g Hora correcta (hora real) A veces cuando preguntamos por la hora a una persona, escuchamos respuestas como las siguientes : * Son 5 para las 7. * Son 10 para las 4. * Falta un cuarto para ls 9, .........,etc. Notamos que éstas expresiones indican la hora que deseamos saber. En el primer caso 5 para las 7, indica que son las 6:55; es decir, faltan transcurrir 5 minutos para que sean las 7; además podemos expresarlo gráficamente de la siguiente manera. Los mismo se puede precisar en los demás casos: Así como en éste y otros ejemplos similares, en los cuales nos dicen la hora , indicándonos el tiempo que falta transcurrir para llegar a la hora siguiente, también nos pueden precisar la hora indicándonos el tiempo que ha transcurrido desde cierta hora hasta la hora que es: Por ejemplo : m Ya han pasado 20 minutos desde las 6. m Han transcurrido 12 minutos desde las 4. En el primer caso, nos indica, que son las 6:20; es decir que desde las 6 hasta la hora que es en este momento, han transcurrido 20 minutos; su interpretación gráfica puede ser la siguiente: También nos pueden indicar la hora entre dos horas específicas, por ejemplo: Son más de las 4, pero aún no son las 7. Es decir, la hora que es está entre las 4 y las 7; lo cual gráficamente sería así: En este ejemplo se considera un intervalo de 3 horas (de 4 a 7), pero entiéndase que ello puede variar; es decir, se puede considerar un día, una semana o un año, según sea el enunciado de un problema. En General : Ejemplo 1 ¿Qué hora es?, cuando la parte transcurrida del día, es igual a los de lo que falta por transcurrir? A) 8a.m. B) 7 C) 6 D) 9 E) 5 Resolución : Según el enunciado : Despejando : x = 9 a.m. Ejemplo 2 Si el tiempo transcurrido del día excede en 6hr. a la quinta parte del tiempo que queda del día, ¿qué hora es? A) 7am. B) 6 C) 9 D) 10 E) 1 Resolución : * Según datos : * Resolviendo : x = 9hr. * Por lo tanto la hora es 9:00 a.m. Ejemplo 3 : ¿Qué hora es, si hace 4 horas faltaba para acabar el día, es el triple del tiempo que faltará para acabar el día, pero dentro de 4 horas? A) 2 pm. B) 3 C) 4 D) 6 E) 5 Resolución : Del gráfico : 4 + 4 + x = 3x x = 4 Hora exacta :24 - (4 + x) = 16 Es decir, son las 16 h. o 4pm. Ejemplo 4 : ¿Qué hora es?, si dentro de 35 minutos faltarán para las 18hr., 5 minutos más que los minutos transcurridos desde las 16hr. A) 8:20 B) 13:25 C) 14:20 D) 16:40 E) 5:00 pm. Resolución : * Desde las 16:00 horas hasta las 18:00 son : 2h <> 120min. * Del gráfico : x + 35 + (x + 5) = 120 * Resolviendo : x = 40 * Luego la hora es : 16:00 + x min. = 16:00 + 40min. La hora es : 16:4 n más de las 3 pero aún no las 4. Si los minutos transcurridos desde las 3 es el triple de los minutos que faltan transcurrir para que sean las 4. ¿Qué hora es? A) 3:45 B) 2:15 C) 3:07 D) 5:30 E) 6:20 Resolución : * Para empezar, la hora pedida se encuentra entre las 3 y las 4; además, el tiempo transcurrido es el triple del tiempo que falta por transcurrir; entonces, de todo ello podemos establecer lo siguiente : Como no sabemos cuánto falta para las 4, entonces a dicho tiempo lo indicamos con «n»; es decir «n» minutos, por lo tanto, el tiempo transcurrido; desde las 3 hasta la hora que es, debe ser 3n minutos, por condición del enunciado (ver gráfico). Y como los minutos transcurridos, desde las 3 hasta la hora exacta, y los minutos que faltan transcurrir, desde la hora que es hasta las 4, deben totalizar una hora, es decir, 60 minutos; planteamos lo siguiente: 3n + n = 60 n = 15 * Con ello podemos indicar que el tiempo transcurrido desde las 3 hasta la hora exacta es : 3n = 3(15) = 45 son las 3:45 Mediante las siguientes expresiones: I) Hora marcada = Hora real + Adelanto ó HM = HR + ADELANTO II) Hora marcada = Hora real - atraso ó HM = HR - ATRASO Ejemplo 6 : Un reloj se adelanta 2 min. cada 15 min. Si este desperfecto ocurre hace 7 horas ¿Qué hora marcará las agujas del reloj , si la hora exacta es 3h58min.? A) 5:07 B) 4:54 C) 4:15 D) 8:07 E) 4:46 Resolución : *Aplicando la «Regla de Tres Simple», si se adelanta 2min. en 15min. en 7 horas (7´ 60 = 420min.), ¿Cuánto se habrá adelantado? Ejemplo 7 : Hace 10 horas que un reloj se atrasa 3 minutos cada media hora. ¿Cuál es la hora exacta, si el reloj indica que son las 11h. 28min.? A) 12:28 B) 14:07 C) 12:24 D) 12:26 E) 12:20 Resolución : * Aplicando la «Regla de Tres Simple» Se atrasa : 3 min ¾¾¾ ½ hora x ¾¾¾ 10 horas Hora Exacta (Hora Real), aplicando : HR = HM + Atraso ; será : HR = 11H 28 min. + 1H = 12:28 Ejemplo 8 : Un reloj se atrasa veinte minutos en cada hora. ¿Al cabo de cuánto tiempo volverá a marcar la hora exacta? A) 36 horas B) 72 horas C) 12 horas D) 24 horas E) Ninguna anterior Resolución : El lector deberá convenir en que si un reloj tradicional de agujas, (que presenta doce horas en su círculo) se atrase o adelanta 12 horas, en ese instante en el que se ha atrasado o adelantado las doce horas su medición horaria coincidirá con la hora exacta, es decir en apariencia, se presentará como si fuera la hora exacta, luego : Atrasa En cada 20 minutos 1 hora Ahora bien en nuestro problema es evidente que si tratáramos de plantear una regla de tres simple nos haría falta una información numérica, habida cuenta de que toda regla de tres requiere de tres datos y una incógnita, pues bien el tercer dato ha agregar en este caso será doce, es decir este reloj deberá estar atrasado doce horas para marcar la hora exacta. Veamos: Atrasa En cada 20 minutos 1 hora 12 horas x Ejemplo 9 Cierto reloj se adelante diez minutos cada hora. ¿Cuánto tiempo tendrá que transcurrir para que vuelva a marcar la hora exacta? A) 144 horas B) 6 días C) 3 días D) 9 días E) 12 días Resolución : * El principio es el mismo que se aplicó en el problema inmediato anterior, es decir cuando se solicita que un reloj impreciso (que se adelanta, en este caso) vuelve a marcar la hora exacta , será necesario que se adelante doce horas, ahora hay que determinar cuánto tardará en adelantarse estas doce horas, es decir: Ejemplo 10 Un reloj se atrasa dos minutos por hora y otro se adelanta 3 minutos por hora, si empiezan a marcar la hora exacta el día 7 de Agosto a las 12m. ¿En qué fecha volverán a marcar la misma hora por primera vez? A) 11 de agosto B) 12 de agosto C) 14 de agosto D) 13 de agosto E) 15 de agosto Resolución : Considerando que mientras un reloj se adelanta 2min. el otro se atrasa 3min., será evidente que en una hora juntos establecerán una diferencia de 5min., es decir: Ejemplo 11 Siendo las 8am. empieza ha adelantarse un reloj 5min. cada hora. ¿Qué hora marcará cuando la hora correcta sea 10pm. del mismo día? A) 11:10 pm. B) 11:08 C) 11:02 D) 11:14 E) 11:16 ace 12 horas y media se descompuso un reloj sufriendo un atraso de 8min. cada 4 horas. Si en éste instante marca 8 h 57 min. ¿Cuál es la hora correcta? A) 9:18 B) 9:22 C) 9:14 D) 9:28 E) 9:30 Resolución : DIVISIONES DE UN RELOJ H : horario m : minutero a : ángulo convexo (< 180°) b : ángulo cóncavo (> 180°) * En 1 hora el minutero recorre : 60 div. = 60¢ = 360° 1 div. = 1¢ = 6° * Del gráfico : TEOREMA FUNDAMENTAL Se aplica para hallar el ángulo convexo entre horario y minutero. Se divide en 2 casos. I) Cuando el horario adelanta al minutero. ó Ejemplo 13 ¿Qué ángulo forman el horario y minutero a las 5h. 10min.? A) 20° B) 72° C) 95° D) 102° E) 91° Resolución : II) Cuando el minutero adelanta al horario : Ejemplo 14 Hallar la medida del ángulo que forman horario y minutero a las 3h. 40 min. A) 92° B) 50° C) 70° D) 120° E) 130° Resolución : EN GENERAL : Cuando un reloj marca las «H» horas «M» minutos o abreviadamente H:M el ángulo «q» formado por el horario y el minutero se obtiene directamente con la siguiente fórmula. Donde : H : hora de referencia (0 = H = 12) M : # de minutos transcurridos a partir de la hora de referencia. q : Medida del ángulo que forman las manecillas del reloj (en grados sexagesimales). CASO I : Cuando el horario adelanta al minutero. CASO II : Cuando el minutero adelanta al horario. CONCLUSIÓN : El signo negativo acompañará a la manecilla que se encuentra rezagada (tomando en cuenta siempre el movimiento de las manecillas del reloj) : a) Dado un tiempo determinado, la hora referencial será la hora exacta anterior a la hora que nos dan. b) Cuando se pregunta por el ángulo que forman las manecillas del reloj , se debe entender que es el menor. RELACIÓN DEL RECORRIDO DEL HORARIO Y MINUTERO En 1 hora la relación de recorridos del horario y minutero es : de donde : (Si el minutero recorre m divisiones, el horario recorrerá la doceava parte (m/12) ). Ejemplo 15 A qué hora después de las 3, el minutero adelanta al horario tanto como el horario adelantará a las 12. A) 3:20 B) 3:24 C) 3:10 D) 3:26 E) 3:36 Resolución : OBSERVACIÓN : g Recuerde que la circunferencia mide 360° g Como sabemos la circunferencia del reloj está dividida en 12 espacios separados por las marcas horarias (ver figura). g Cada espacio entre las marcas horarias tiene una medida de 30° (ver figura). g También sabemos que el espacio comprendido entre 2 marcas horarias está dividido en 5 espacios que corresponden a los minutos (ver figura). g El espacio correspondiente a un minuto tiene una medida de 6 ° (ver figura). ¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj a las 2h. 20¢? A) 40° B) 50° C) 55° D) 45° E) 35° ¿Qué ángulo forman el horario y el minutero a las 10h. 40¢? A) 70° B) 75° C) 80° D) 85° E) 90° lenin miró el reloj y observó que la aguja de las horas está en una marca y el minutero está sobre la marca siguiente. ¿Qué hora es? A) 10 h. B) 11 h. C) 12 h. D) 1 h. E) 2 h. Resolución : * Luego son las 11h. PROBLEMA 15 ¿Cuántos minutos después de las 3 h. se forma un ángulo de 53° Luego que el minutero sobrepasó al horario? A) 26¢ B) 24¢ C) 25¢ D) 28¢ E) 23¢ Resolución : * El gráfico solo es referencial : * Son : 3h. m. * El minutero adelanta al horario : PROBLEMA 16 ¿A qué hora entre las 7 y las 8 las agujas de un reloj están en línea recta? PROBLEMA 17 ¿Cuántos minutos después de las 8 el horario adelanta al minutero 18 divisiones de arco menor? A) 22¢ B) 25¢ C) 23¢ D) 24¢ E) 26 PROBLEMA 30 ¿Cuál de los siguientes años fue bisiesto? A) 1900 B) 1940 C) 1980 D) 1976 E) 1984 Resolución : Recordemos que cada año bisiesto está representado por un número múltiplo de cuatro o lo que es lo mismo el año bisiesto se repite cada cuatro años, a excepción del último de cada siglo cuyo número de centenas no sea múltiplo de cuatro. En este caso las cinco alternativas representan a números múltiplos de cuatro, sin embargo es menester que el lector repare en que el número 1900 es múltiplo de cuatro, pero es el último del siglo xix, luego : 1900 = 19 centenas Luego 19 no es múltiplo de 4 Þ 1900 no fue año bisiesto 4to. Caso : Miscelánea : En muchos años debemos aplicar más de un criterio a la vez, es decir múltiplos de siete, años bisiestos, etc. o algún criterio adicional, veamos algunos ejemplos : PROBLEMA 31 Si el cumpleaños de Jackie es el 15 de diciembre y en 1995 fue viernes. ¿En qué año próximo volverá a ser viernes? A) 2000 B) 1997 C) 1998 D) 1999 E) 2001 Resolución : * Consideremos que un año usual tiene : 365 días (múltiplo de 7) + 1 * mientras que un año bisiesto tiene : 366 días º (múltiplo de 7) + 2 ahora cuando evaluemos los días transcurridos de un año bisiesto o un año usual, o viceversa, debemos tener en cuenta, si en el conteo se está incluyendo el 29 de febrero , que es el único día que aparece sólo en años bisiesto; ahora bien si no se incluyera este día cada fecha cambiaría en un día cada año, es decir si el 15 de diciembre del 95 fuera jueves en el 96 sería viernes, en el 97 sábado, en el 98 domingo y así sucesivamente, como es evidente la presencia del 29 de febrero determina que las fechas cambien en dos días, apliquemos este criterio en la siguiente solución : Viernes 15 de diciembre 1995 ® Domingo 15 de diciembre de 1996 Lunes 15 de diciembre 1997 ® Martes 15 de diciembre 1998 Miércoles 15 de diciembre 1999 ® Viernes 15 de Diciembre 2000 Es evidente que será en el año 2000. PROBLEMA 32 Si todos los años tuvieran 364 días; el cumpleaños de Jessica que nació el 12 de mayo y fue martes. ¿Qué día sería en el año 2024? A) Viernes B) Martes C) Lunes D) Sábado E) Miércoles Resolución : Al calendarizar un año estamos optando por una forma de medir el tiempo y cuando decimos que un año dura 365 días estamos haciendo una aproximación por defecto ¡ahora bien! en el supuesto que plantea este problema, al considerar 364 días si bien el defecto se amplia notablemente, esto es independiente del planteamiento del problema. Por otra parte 364 es múltiplo de siete, es equivalente a 52x7 luego es evidente que las fechas año a año se mantendrán constantes; es decir todos los doce de mayo seguirían siendo martes. PROBLEMA 33 Un empleado trabaja 5 días seguidos y descansa el sexto. Empieza su trabajo el lunes. ¿Cuántos días tienen que transcurrir para que le toque descansar un domingo? A) 30 días B) 40 días C) 42 días D) 43 días E) 41 días Resolución : Del enunciado se puede deducir que cada seis días se está descansando un día distinto, un días subsiguiente, pues bien considerando que la semana tiene siete días diferentes, luego 6×7 = 42, se deduce que cada 42 días se repetirá un día de descanso. Ahora de la pregunta se desprende que se ha descansado un domingo y se empieza a laborar lunes. Luego para que se repita el domingo tendrán que transcurrir 42 días más. PROBLEMA 34 Un miércoles de un mes de junio se cumplió que los días que faltaban para terminar el mes era igual a la raíz cuadrada de la fecha. ¿Qué día de la semana fue el primer día del mes anterior? A) Miércoles B) Martes C) Domingo D) Jueves E) Sábado Resolución : Representamos con «f» a los días que faltan para terminar el mes y con «t» a los días transcurridos (fecha), luego teniendo 30 días el mes de junio, se deduce : f + t = 30 ¾® t = 30 - f ………… (I) * pero segun dato: f = ¾® t = f2 …………… (II) *De I y II : 30 - f = f2 f (f + 1) = 30 ¾® f = 5 Þ Fecha : Miércoles 25 de junio. Luego del 1º de mayo al 25 de junio, transcurren 55 días; es decir si a la fecha Miércoles 25 de junio, le restamos 56 días (el múltiplo de siete más próximo) obtenemos el Miércoles 30 de abril, luego el 1º de mayo será Jueves. PROBLEMA 35 ¿Cuál de los siguientes años corresponde a un año bisiesto? A) 1983 B) 2000 C) 1210 D) 1945 E) 900

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