SERIES Y SUMATORIAS FÓRMULAS , MÉTODOS Y EJEMPLOS DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PREUNIVERSITARIO Y SECUNDARIA PDF
OPERADOR SIGMA - Serie numérica : Es la adición indicada de los términos de una sucesión numérica. Al resultado de la adición si es que este existe se le llama suma o valor de la serie. Poe ejemplo ,si tenemos la sucesión: 2; 5; 8 ; 11; ... ; (3n – 1); ... La serie asociada a ella será: 2 + 5 + 8 + 11 +....+ (3n – 1) + .... Puede observarse que el término enésimo de la sucesión dada es: Tn = 3n – 1 entonces recordemos que podemos escribir la serie dada de forma abreviada empleando la notación sigma (S) que denota "sumatoria". Así: SUMATORIAS Consideremos la siguiente sucesión: La suma de los términos de la sucesión será : La expresión en el lado derecho de la igualdad se denomina "sumatoria" y constituye una forma abreviada de escribir la serie dada. Donde : : Notación Sigma. Nos representa la suma de los términos de la forma "" de dicha sucesión. : Nos representa uno de los términos de la sucesión, dependiendo del valor de "i". i : Puede tomar valores desde n hasta m Ejemplo 1: Representar la siguiente sumatoria : 1 + 2 + 3 + 4 + ...+ 30 Resolución : La sucesión está formada por todos los enteros positivos desde 1 hasta 30. Sea i un entero cualquiera cuyo valor mínimo es 1 (límite inferior) y el valor máximo es 30. (límite superior). Por lo tanto la sucesión indicada la podemos representar como : Ejemplo 2 : La suma 3+4+5 +...+ 15, se expresa : donde: i = 3; se llama límite inferior. i = 15; se llama límite superior. “i”: representa a un número natural. Ejemplo 3 : representa la suma: 8 + 9 + 10 + ... + 20, cuyo valor es: 182. Ejemplo 4 : Calcular : Resolución : Cada término a sumar es de la forma "2i – 1" donde "i" toma valores 3 ; 4 y 5 Ejemplo 5 : , representa la suma: 2(1) + 2(2) + 2(3) +...+ 2(7) = 2 + 4 + 6 +...+ 14 y se lee: "suma de los números pares desde: i =1 hasta: i =7" Ejemplo 6 :La expresión: , representa la suma: (2×1–1) + (2×2–1) + (2×3–1) + ...+ (2×6×1) = 1+3+5+ ... +11 y se lee: "suma de los números impares desde: i =1 hasta: i = 6". Ejemplo 7 : , representa la suma: 42 + 52 + 62 + ... + 92 = 16 + 25 + 36 + ... + 81 y se lee: "suma de los cuadrados de los números naturales desde: i = 4 hasta: i = 9". Ejemplo 8 : , representa la suma: 13 + 23 + 33 + ... + 53 = 1 + 8 + 27 + ...+ 125 y se lee: "suma de los cubos de los números naturales desde: i=1 hasta: i=5". Fórmulas para calcular sumas notables i) Suma de los "n" primeros números enteros positivos: Ejemplo: ejercicio : Calcule : 0,1 + 0,2 + 0,3 + .... + 10 Resolución: Transformando a sus generatrices: iii) Suma de los "n" primeros números pares positivos: Ejemplo: ejercicio : Lenin camina entre dos puntos "A" y "B" de la siguiente manera. Avanza 3m y retrocede 1m; luego avanza 5m, 7m, 9m y así sucesivamente, retrocediendo siempre 1m cada vez que avanza. Si la última vez que camino hacia adelante avanzó 41m y ya no retrocedió, calcular "AB". Resolución: Según el enunciado: Luego; la distancia AB vendría dada: Por: = 19 (20) + 41= 421 m iii) Suma de los "n" primeros números impares positivos: Ejemplo: ejercicio : Calcule : Resolución: Calculamos la cantidad de sumandos como: tn = 2n – 1 ® 2n – 1 = 79 Þ n = 40 Entonces la serie bajo el signo radical tiene 40 sumandos, así: iv) Suma de los cuadrados de los "n" primeros números enteros positivos: Ejemplo: ejercicio : En el siguiente arreglo triangular, hallar la suma de las 20 primeras filas. Resolución: Sumando los números que conforman cada fila tendremos. v) Suma de los cubos de los "n" primeros números enteros positivos: Ejemplo: ejercicio : Hallar el resultado de sumar: Resolución: Ordenando adecuadamente y sumando tendremos: vi) Suma de los "n" primeros productos consecutivos : Tomados de 2 en 2 : Ejemplo : Calcular: S = 2 + 6 + 12 + 20 + ... + 110 Resolución: Podemos escribir la serie así: S = 1×2 + 2×3 + 3×4 + 4×5 + ... + 10×11 Aplicando ahora la expresión dada tendremos: Tomados de 3 en 3 : Ejemplo : Calcular: S = 6 + 24 + 60 +... + 1320 Resolución: Dando forma ordenada tendremos: S = 1×2×3 + 2×3×4 + 3×4×5+ ... + 10×11×12 suma limite Dada la progresión geométrica infinita: donde 0 < |q| < 1, recordemos que la serie asociada a ella es: S = t1 + t2 + t3 + t4 + ... ¥ El valor de esta serie geométrica infinita es: Ejemplo : Calcular el valor de la suma límite en: Resolución: Observamos que: Luego: PROPIEDADES i)Número de términos de la sumatoria : Ejemplo : ii) Si k es un valor constante : Ejemplo : iii) ai ; bi son términos que dependen de la variable "i" Ejemplo : iv) Sumatoria de una constante. k = cte. Ejemplo : v) Desdoblando la sumatoria : i = n ; n + 1 ; n + 2 ; n + 3 ; ... ; n + p ; n + p + 1 ; ...... m