RAZONAMIENTO INDUCTIVO EXPLICACIÓN Y EJEMPLOS EN HABILIDAD LÓGICO MATEMÁTICO PREUNIVERSITARIO Y SECUNDARIA PDF

¿Cuál es el Objetivo?
Aprender uno de los métodos más interesantes para afrontar situaciones problemáticas, utilizando la “Lógica inductiva-deductiva”.
¿Qué es el Razonamiento Inductivo?
Procedimiento que consiste en analizar experiencias sencillas, pero con las mismas características que el problema original, con el objetivo de deducir una ley de formación, para así aplicarla a una situación más general.
  
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  • Se recomienda analizar tres casos como mínimo. Ejemplo Ilustrativos: Calcular el valor del término 50 de la siguiente sucesión: 1 ; (1 ? 3) ; (1 ? 3 ? 5) ; (1 ? 3 ? 5 ? 7) ; … A) 50 B) 2505 C) 500 D) 2500 E) 3005 Resolución: Analizando los primeros términos: 1er. Término : 1 ? 1 ? 12 2do. Término : 1 ? 3 ? 4 ? 22 3er. Termino : 1 ? 3 ? 5 ? 9 ? 32 Observamos que el valor de cada termino es de la forma n2, donde “n” es la cantidad de números impares que se suman en cada término. Luego: Término del lugar 50 será: 1 ? 3 ? 5 ? … ? 502 ? 2500 OJO: Es bueno que consideremos las siguientes sucesiones con sus respectivas leyes de formación. SUCESIONES NOTABLES LEY DE FORMACIÓN GENERAL 1 ; 2 ; 3 ; …… ; n n 2 ; 4 ; 6 ; …… ; 2n 2n 1 ; 3 ; 5 ; … ; (2n ? 1) 2n ? 1 1 ; 4 ; 9 ; …… ; n2 n2 1 ; 8 ; 27 ; …… ; n3 n3 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; …… ; 2n 2n 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; … ; 2n ? 1 2n ? 1 1 ; 3 ; 7 ; 15 ; … ; 2n ? 1 2n ? 1 2 ; 6 ; 12 ; … ; n(n ? 1) n(n ? 1) ¡Importante! 1 ; 3 ; 6 ; …… OBSERVACIÓN IMPORTANTE: Como cada término de una sucesión está íntimamente relacionado con el orden que ocupa, entonces, en muchas situaciones, se encontrará la ley de formación en base al número ordinal. Ejemplo 01.- Indicar la ley de formación para la siguiente sucesión: 2 ; 7 ; 12 ; …… MÉTODO PRÁCTICO: Se multiplica a cada ordinal por la razón y se debe forzar a que resulte su respectivo término en la sucesión, ya sea sumando o restándole una cantidad a deducir: Ordinal: 1º 2º 3º …… nº ?3 ?3 ?3 ?3 2 ; 7 ; 12 5n ??3 OJO: Al multiplicar al 1 (primer ordinal) por 5, debemos forzarlo a que resulte 2, por eso es que le restamos 3. Ejemplo: Indicar la ley de formación en: 6 ; 9 ; 14 ; 21 ; ……… Resolución : 6 ; 9 ; 14 ; 21 ; …… MÉTODO PRÁCTICO: Se eleva al cuadrado cada ordinal y se debe forzar a que resulta su respectivo término en la sucesión: Ordinal: 1º 2º 3º …… nº ?5 ?5 ?5 ?5 6 ; 9 ; 14 ; …… ; n2 ? 5 ¿Qué es el Razonamiento Deductivo? Aplicación de una experiencia general que se ha verificado que es verdadera, A una situación en particular. Ejemplo: Si se sabe que: Calcular: 1 ? 2 ? 3 ? …… ? 2002 Resolución: Aplicaremos la fórmula para n ? 2002: PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 01 ¿De cuántos lados constará la figura 2002? A) 2002 B) 4004 C) 8007 D) 8008 E) 1608 Resolución: Considerando el ordinal y contando la cantidad de lados: Ordinal : 1º 2º 3º ……… 2002º # lados : 3 7 11 ……… ? Número de lados de la fig. 2002, será: 4(2002) ? 1 ? 8007 Resp. : C PROBLEMA 02 ¿Cuántos cuadraditos pequeños se puede contar en? A) 1225 B) 3500 C) 1750 D) 1725 E) 355 Resolución: Aplicaremos situaciones particulares, con-servando una forma análoga a la original, tendremos: CASOS PARTICULARES # DE CUADRADITOS ??? 1 ? 12 ??? 4 ? 22 ??? 9 ? 32 • Luego para lo pedido, se tendrá que: # de cuadraditos pequeños: 352 ? 1225 Resp. : A PROBLEMA 03 Hallar la suma de cifras del resultado de la siguiente expresión: ( 666 …… 666 )2 A) 4004 B) 18018 C) 12012 D) 808 E) 2003 Resolución: Observamos que la característica a variar es la cantidad de “6”, luego: CASOS PARTICULARES SUMA DE CIFRAS • 62 ? 36 ??? 9 ? 9 ? 1 • 662 ? 4356 ??? 18 ? 9 ???2 • 6662 ? 443556 ??? 27 ? 9 ???3 ? La suma de cifras para la expresión pedida será: 9 ??? 2002 ? 18018 Resp. : B PROBLEMA 04 ¿Cuántos triángulos totalmente sombreados hay en total? A) 200 B) 8000 C) 400 D) 380 E) 210 Resolución: CASOS PARTICULARES TRIANG. SOMBREADOS Luego para el problema, lo pedido será: 20 ? 19 ? 380 Resp. : D PROBLEMA 05 ¿De cuántas formas distintas se puede leer “MOSHERA” en el siguiente arreglo? A) 128 B) 256 C) 255 D) 127 E) 64 Resolución: CASOS PARTICULARES # DE FORMAS DE LEER • Luego para el problema pedido: : 27 ? 1 ? 26 ? 64 Resp. : E PROBLEMA 06 Calcular el número total de rombos sombreados que hay en: A) 625 B) 10000 C) 2500 D) 5000 E) 5050 Resolución: CASOS PARTICULARES # DE ROMBOS SOMBREADOS • Luego para lo pedido: 502 ? 2500 Resp. : C PROBLEMA 07 Calcular la suma de cifras del resultado de: A) 12000 B) 6000 C) 4000 D) 3300 E) 6666 Resolución: CASOS PARTICULARES SUMA DE CIFRAS ??? 6 ? 6(1) ??? 12 ? 6(2) ??? 18 ? 6(3) Luego para la expresión pedida, la suma de cifras será: 6(1000) ? 6000 Resp. : B PROBLEMA 08 ¿Cuántos apretones de manos se producirán al saludarse, 100 personas asistentes a una reunión? A) 10000 B) 1000 C) 5005 D) 505 E) 4950 Resolución: CASOS PARTICULARES # DE APRETONES Para 2 personas : ?? Para 3 personas : ?? Para 4 personas: ?? Luego para 100 personas el número de apretones de mano será: Resp. : E PROBLEMA 09 Hallar el total de puntos de contacto en: A) 290 B) 870 C) 420 D) 1305 E) 2875 Resolución: CASOS PARTICULARES # PUNTOS DE CONTACTO Resp. : D PROBLEMA 10 Calcular el número total de bolitas sombreadas en: A) 900 B) 2500 C) 1275 D) 420 E) 950 Resolución : CASOS PARTICULARES Total de bolitas # de bolitas sin sombrear # de bolitas sombreadas Luego para lo pedido será: Resp. : E PROBLEMA 11 ¿Cuántas bolitas se contará en la figura 20? A) 1200 B) 960 C) 800 D) 1160 E) 820 Resolución: CASOS PARTICULARES # DE BOLITAS F(1) ??? 1 ? 1 ???1 F(2) ??? 8 ? 2 ?? 4 F(3) ??? 21 ? 3 ?? 7 ? Para F(20) ??? 20 ? 58 ? 1160 Resp. : D OJO: La regla hay que deducirla (no es una adivinanza) PROBLEMA 12 Calcular: A) 800001 B) 80601 C) 4006001 D) 3480001 E) 2888001 Resolución: Casos particulares: Luego: Resp. : C PROBLEMA 13 ¿Cuántos palitos se cuentan en total en la figura? A) 800 B) 779 C) 400 D) 120 E) 2020 Resolución: CASOS PARTICULARES Luego para lo pedido, el número de palitos será: 19 ? 41 ? 779 Resp. : B PROBLEMA 14 En la figura, hallar el máximo número de cuadriláteros. A) 92 B) 168 C) 350 D) 1225 E) 351 Resolución: CASOS PARTICULARES # DE CUADRILATEROS ??? 3 ??? 8 ??? 13 Luego para el problema, el número de cuadriláteros será: 35 ? 5 ? 7 ? 168 Resp. : B PROBLEMA 15 Calcular la suma de todos los elementos de la matriz: A) 2542 B) 247500 C) 328400 D) 328350 E) 284200 Resolución: CASOS PARTICULARES SUMA DE ELEMENTOS 1 ??? 1 ? 1 ?? 12 ??? 12 ? 3 ?? 22 ??? 45 ? 5 ?? 32 Luego para el problema, la suma estará dada por: 99 ? 502 ? 247500 Resp. : B PROBLEMA 16 Calcular el número total de palitos usados en la construcción del castillo. A) 1395 B) 1488 C) 1495 D) 1388 E) N.A. Resolución: CASOS PARTICULARES # DE PALITOS Luego para lo pedido: # de palitos: Resp. : A PROBLEMA 17 ¿Cuántos puntos de corte hay? A) 240 B) 900 C) 232 D) 800 E) 80 Resolución : CASOS PARTICULARES Luego para lo pedido será: 8(30 ? 1) ? 232 Resp. : C PROBLEMA 18 En la figura se muestran “n” filas y “n” columnas de rombos, si el nú-mero total de pun-tos de inter¬sección es 288, hallar n. A) 10 B) 8 C) 9 D) 12 E) 11 Resolución: CASOS PARTICULARES # PUNTOS DE INTERSECCIÓN ?? ?? ?? Luego para “n” filas y “n” columnas, se tendrá que: Resp. : C PROBLEMA 19 ¿Cuántos puntos de corte hay? A) 120 B) 240 C) 200 D) 60 E) 360 Resolución: CASOS PARTICULARES Luego se pedirá: 12 ? 20 ? 240 Resp. : B PROBLEMA 20 ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “REPASO”? A) 36 B) 6 C) 256 D) 32 E) 64 Resolución: Por inducción: Casos Particulares # de Formas de Leer PROBLEMA 21 Indicar la cantidad total de palabras “INGRESO” que se puede leer en el siguiente diagrama, uniendo las letras consecutiva-mente. Resolución: • Consideremos casos análogos al problema, pero más sencillos que él (por inducción) Casos Particulares • Para el problema, el total de número de palabras “INGRESO” será: 3(26 ? 1) ? 189 Resp. : C PROBLEMA 22 ¿Cuantos rombitos de la forma y tamaño de hay en la siguiente figura? A) 400 B) 420 C) 800 D) 570 E) 210 Resolución: Por inducción: PROBLEMA 23 ¿Cuántos cuadraditos pintados se contarán en F (25)? A) 400 B) 900 C) 600 D) 625 E) 490 Resolución: Por inducción: Para: F(1) ; F(2) ; F(3) Luego para F(25) habrán 25 ? 24 ? 600 cuadraditos pintados. Resp. : C PROBLEMA 24 Calcular la suma de todos los términos del siguiente arreglo: A) 1000 B) 2000 C) 3000 D) 4000 E) 6400 Resolución: Por Inducción: Casos Particulares Suma Arreglo de: 1 ? 1 ? [2] ?? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 13 2 ? 2 ? ?? 16 ? 2 ? 8 ? 2 ? 23 3 ? 3 ? ? 54 ? 2 ? 27 ? 2 ? 33 Luego para el arreglo de 10 ? 10 la suma será: 2 ? 103 ? 2000 Resp. : B PROBLEMA 25 Calcular el número total de puntos de corte en: A) 640 B) 790 C) 810 D) 679 E) 981 Resolución: Por Inducción: Pero hay que agregar los puntos de corte que origina el rombo número 100. ? : 99 ? 8 ? 6 ? 4 ? 790 Resp. : B PROBLEMA 26 Cuántos puntos de contacto hay en la siguiente gráfica de circunferencias? A) 1305 B) 1300 C) 1310 D) 1315 E) 1320 Resolución: Por inducción: Luego, lo que piden será: Resp. : A PROBLEMA 27 Si se cumple: F(1) ? 2 ? 1 ? 1 F(2) ? 6 ? 3 ? 2 F(3) ? 12 ? 6 ? 3 F(4) ? 20 ? 10 ? 4 F(5) ? 30 ? 15 ? 5 Calcular: F(20) A) 422 B) 22 C) 204 D) 420 E) 2 Resolución: Analizando la ley de formación se tendrá: Luego: F(20) ? 420 ? 210 ? 20 ? 22 Resp. : B PROBLEMA 28 Calcular el número total de esferitas en: A) 400 B) 200 C) 800 D) 210 E) 420 Resolución: Por inducción: CASOS PARTICULARES # DE ESFERITAS Luego lo que nos piden será: 202 ? 400 Resp. : A PROBLEMA 29 Calcular la suma de todos los elementos de la matriz: A) 254200 B) 247500 C) 328400 D) 328350 E) 284200 Resolución: Por inducción: CASOS PARTICULARES SUMA DE ELEMENTOS [1] ??? 1 ? 1 ? 12 ??? 12 ? 3 ? 22 ??? 45 ? 5 ? 32 • Se deduce que: Sn ? (2n ? 1)n2 • Piden para: 2n ? 1 ? 99 n ? 50 • La expresión a calcular será: 99 ? 502 ? 247500 Resp. : B PROBLEMA 30 El número de cifras de un número positivo A es el doble del número de cifras del número positivo B y el cuádruple del número de cifras del número positivo C. Si D tiene d cifras (d ? 4), entonces el número mínimo de cifras de es: A) d ? 6 B) d ? 3 C) d D) d ? 3 E) d ? 6 Resolución: # cifras (A) ? 4n 1012n ? 3 ? A3 ? 1012n # cifras (B) ? 2n 108n ? 4 ? B4 ? 108n # cifras (C) ? n 104n ? 4 ? C4 ? 104n # cifras (D) ? d 10d ? 1 ? D ? 10d Luego: Menor # de cifras ? d ? 4 ? 1 ? d ? 3 Resp. : D PROBLEMA 31 Hallar el máximo número de triángulos en: A) 180 B) 81 C) 79 D) 78 E) 82 Resolución: Por inducción: # de Triángulos ? 4 ?1 ? 4 ?1 ? 4 ?1 Luego piden: 20 ? 4 ? 1 ? 79 Resp. : C PROBLEMA 32 Hallar F(22), si: F(1) ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 F(2) ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 F(3) ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 F(4) ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 A) 500 B) ?500 C) 555 D) ?555 E) 625 Resolución: Se deduce que: F(21) ? 21 ? 22 ? 23 ? 24 F(22) ? 22 ? 23 ? 24 ? 25 ? ? 555 Resp. : D PROBLEMA 33 En qué cifras terminan las siguientes expresiones: F ? (7 ? 1) (72 ? 1) (73 ? 1) … (7800 ? 1) ? 8 T ? (3 ? 1) (32 ? 1) (33 ? 1) … (3400 ? 1) ? 7 D ? (10 ? 1) (102 ? 3) (103 ? 5) … (10500 ? 999) ? 1 A) 0 ; 5 y 0 B) 0 ; 0 y 5 C) 8 ; 3 y 4 D) 4 ; 0 y 8 E) 3 ; 3 y 4 Resolución: F ? (7 ? 1) • (…0) … ? 8 ? … 8 T ? (3 ? 1)(32 ? 1)(33 ? 1)(…0) … ? 7 ? …3 D ? (impar)(impar)(…5) … ? 1 ? …4 Resp. : C PROBLEMA 34 Hallar la suma de las cifras del resultado final de: 8 ? 98 ? 998 ? 9998 ? …… A) 45 B) 44 C) 46 D) 47 E) 48 Resolución: Piden: 101 ? 2 ? 102 ? 2 ? 103 ? 2 ? … ? 1045 ? 2 (1045 ? 1044 ? 1043 ? … ? 101) ? 2 ? 45 111 …… 110 ? 90 ? 111 …… 111020 • La expresión a calcular será: ????????????…… ? 2 ? 45 Resp. : A PROBLEMA 35 En la figura, hallar el máximo número de cuadriláteros. A) 100 B) 98 C) 96 D) 95 E) 93 Resolución: Por inducción: Resp. : E PROBLEMA 36 ¿Cuántos cuadrados se encontrarán en la posición número 20? A) 96 B) 144 C) 400 D) 399 E) 81 Resolución: Por inducción: POSICIÓN # DE CUADRADOS 1 5 2 9 3 13 Luego, piden: 20 ? 4 ? 1 ? 81 Resp. : E PROBLEMA 37 Calcular la suma de cifras de: R ? 81(123456789)2 A) 36 B) 49 C) 225 D) 81 E) 121 Resolución: Por inducción: 81(1)2 ? 81 ?? 9 ? 9 ? 1 81(12)2 ? 11664 ?? 18 ? 9 ? 2 81(123)2 ? 1225449 ?? 27 ? 9 ? 3 Luego piden: 9 ? 9 ? 81 Resp. : D PROBLEMA 38 Si: entonces el valor de: (b2 ? 4ab ? 4a2)c es: A) B) 125 C) D) 25 E) 5 Resolución: Elevando al cuadrado: Resp. : D PROBLEMA 39 El número de ?S del castillo siguiente es: A) 2704 B) 2500 C) 2304 D) 2601 E) 2410 Resolución: Por simple inspección: : 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? …… ? 502 ? 2500 Resp. : B PROBLEMA 40 En la siguiente sucesión, determinar el número de círculos sin pintar, en la colección de círculos que ocupe el décimo lugar. A) 201 B) 131 C) 151 D) 181 E) 231 Resolución: • De la secuencia gráfica: GRÁFICA PRIMERA SEGUNDA TERCERA Total 1 ? 2 ? 3 1?2?3?4?5 1?2?3?4?5?6?7 Pintadas 1 ? 12 1 ? 3 ? 22 1 ? 3 ? 5 ? 32 Sin pintar • Piden los sin pintar para el décimo lugar: 1?2?3 ? ? 21?102 ? 01 Calcular la suma de cifras del resultado de: ( 333 …… 333 )2 A) 121 B) 120 C) 81 D) 99 E) 903 02 Determinar la suma de cifras del resultado de: 999999992 A) 64 B) 81 C) 72 D) 100 E) 99 03 Determinar la suma de cifras del resultado de: S ? (1111111)2 A) 81 B) 70 C) 77 D) 7 E) 49 04 Calcular la suma de cifras del resultado de: E ? (666 …… 666)2 A) 20050 B) 4010 C) 18005 D) 18045 E) 9005 05 De cuántas maneras se puede leer la palabra “RUBIÑOS”, en la siguiente distribución: A) 64 B) 256 C) 128 D) 49 E) 343 06 ¿De cuántas maneras se puede leer “DOSMILCINCO”, en: A) 128 B) 144 C) 256 D) 702 E) 902 07 Un cuadrado, muestra dentro de sí, regio-nes cuadradas sombreadas, de acuerdo a la posición que ocupa en la sucesión. Determine la cantidad de cuadrados sombreados en la posición 20. A) 420 B) 380 C) 720 D) 800 E) 700 08 ¿Cuántos rom¬bos se cuentan en la siguiente fi¬gura? A) 1000 B) 250 C) 500 D) 450 E) 1250 09 Halle la suma de todos los números del siguiente arreglo: A) 2375 B) 2350 C) 2250 D) 3475 E) 3375 10 ¿Cuántos cuadriláteros cóncavos se contarán en la figura? A) 2000 B) 1200 C) 1400 D) 1600 E) 2500 11 ¿Cuántos triángulos se cuentan en la siguiente figura? A) 1800 B) 2700 C) 4200 D) 9000 E) 1200 12 En la siguiente figura, ¿cuántos palitos se pueden contar en total? A) 1001 B) 1050 C) 2111 D) 1711 E) 1024 13 ¿Cuántos palitos hay en total en la siguiente figura? A) 500 B) 625 C) 389 D) 2300 E) 768 14 ¿Cuántos triángulos se cuentan en la siguiente figura? A) 702 B) 425 C) 535 D) 465 E) 804 15 ¿Cuántos palitos hay en total en la siguiente figura? A) 277 B) 87 C) 906 D) 243 E) 324 16 Calcule el máximo número de cuadriláte¬ros en la siguiente figura: A) 389 B) 401 C) 273 D) 502 E) 124 17 En la siguiente tabla, el rombo traslada de tal manera que permanece con cinco números en su interior. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 a) Halle la suma de los números que se encuentren en el interior del rombo antes de trasladarse. b) Si después de trasladarse, la suma de los números es igual a 115. ¿Cuáles son los números?. Dé como respuesta el mayor. A) 18 B) 23 C) 24 D) 22 E) 28 18 Se tiene una tira de papel donde el triángulo ABC se va doblando continuamente por las líneas punteadas como indica la figura, si se van a dar en total 2100 dobladas. ¿En qué posición quedarán las letras A; B y C? A) B) C) D) E) 19 En la siguiente sucesión, determinar el número de círculos sin pintar, en la colección de círculos que ocupe el décimo lugar. A) 201 B) 131 C) 151 D) 181 E) 231 20 Hallar el número total de palitos: A) 250 B) 2450 C) 1324 D) 5050 E) 1275 21 Calcular la suma de cifras del resultado de la siguiente expresión: ( 999 …… 999 )3 Indicar la última cifra de dicha suma. A) 6 B) 8 C) 4 D) 0 E) 1 22 Calcular: A) 1 B) 2 C) 32 D) 2002 E) 2003 23 Calcular el número total de hexágonos que se pueden contar, considerando el tamaño que se indica en la figura. A) 1250 B) 1225 C) 1500 D) 1600 E) 1275 24 En la siguiente gráfica. ¿Cuántas bolitas sombreadas hay? A) 1500 B) 1550 C) 2501 D) 1000 E) 5050 25 Cuántas cajitas de la forma ? se han utilizado en la construcción de la siguiente torre. A) 280 B) 390 C) 410 D) 401 E) 400 26 ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la siguiente figura? A) 3775 B) 2105 C) 5050 D) 2500 E) 1275 27 ¿Cuántas cerillas se utilizan par formar desde la figura (1) hasta la figura (20)? A) 6160 B) 6140 C) 6110 D) 6170 E) 6180 28 En la siguiente gráfica ¿Cuántos cuadraditos sombreados hay? A) 600 B) 400 C) 441 D) 625 E) 675 29 Halle el nú-mero total de palabras “SAN MARCOS”, en: A) 256 B) 512 C) 511 D) 255 E) 1023 30 Hallar la cantidad total de palabras “INGENIO” que se puede leer en la siguiente figura (uniendo letras vecinas consecutivamente) A) 192 B) 189 C) 63 D) 255 E) 8 31 ¿De cuántas formas consecutivas diferentes se puede formar la palabra “RAZONA”, uniendo las letras en forma consecutiva. A) 64 B) 63 C) 127 D) 31 E) 128 31 Calcular el número de rombos con un cuadrado pequeño interior que se forman al unir los centros de todos los cuadrados de la figura. A) 20030 B) 40060 C) 100404 D) 100404 E) 100020 32 ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “RAZONANDO”, uniendo círculos consecutivos. A) 25 B) 21 C) 75 D) 70 E) 81

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