PROBLEMAS DE CERTEZAS EJERCICIOS RESUELTOS DE RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO PDF

PROBLEMAS SOBRE CERTEZAS LÓGICA - PEOR DE LOS CASOS
En estos problemas están presentes situaciones azarosas, es decir, aquellas en las que intervienen el azar y la inseguridad, pero, asimismo, la búsqueda del caso seguro en el menor número de ensayos. Por ejemplo, extraer con certeza (seguridad) una ficha roja de una bolsa negra llena con fichas verdes, azules y rojas con el menor número de extracciones posibles.
Experimento aleatorio :
Los fenómenos o experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la realización del experimento a pesar de haberlo realizado en similares condiciones.
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  • Certeza : Conocimiento seguro y claro de algo, donde no hay temor de errar. En el curso, es el proceso por el cual obtenemos con seguridad y anticipación el resultado de un problema. Situación azarosa : ¿Cuántas esferas deben extraerse de la urna mostrada, al azar y como mínimo, para obtener con certeza una esfera blanca? ¿Cómo reconocer un problema sobre certezas? En la formulación de la pregunta, generalmente aparecen 3 frases básicas: • Obtener con certeza/ seguridad • Al azar • Como mínimo / la menor cantidad ESTRATEGIA PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CERTEZAS : Para obtener la condición planteada, asumiremos que tenemos mala suerte, que lo pedido no ocurre sino hasta el final (cuando ya no hay otra opción), es decir, analizaremos el problema dirigiéndolo al caso más extremo (el peor de los casos). Para obtener la CERTEZA, debe ponerse en el “PEOR de los CASOS”. Como ejemplos: 1) Si buscas NEGRO, en el peor de los casos NO sale NEGRO, hasta el ÚLTIMO. 2) Si buscas ASES, en el peor de los casos, NO sale ASES, hasta el ÚLTIMO. 3) Si buscas números PARES, en el peor de los casos, NO sale PARES, hasta el ÚLTIMO. Recuerda: Para obtener la condición planteada, asumiremos que tenemos mala suerte, que lo pedido no ocurre sino hasta el final (cuando ya no hay otra opción), es decir, analizaremos el problema dirigiéndolo al caso más extremo (el peor de los casos). * Cuando existan varios tipos de elementos y la condición pedida solicite más de uno de estos tipos de elementos, entonces, primero ocurren todos los casos no pedidos, luego de los casos pedidos primero ocurren aquellos casos que tienen mayor cantidad de elementos para que recién al final ocurra el caso que hace cumplir la condición pedida. PRINCIPALES CASOS EN PROBLEMA DE CERTEZAS I) BOLOS QUE SE EXTRAEN DE UNA URNA O CAJA : Si en una urna hay bolos de distintos colores (uno de ellos es blanco), y si queremos extraer 1 bolo blanco, entonces, en el peor de los casos, salen los bolos de otro color y al final saldrá el bolo blanco. ejercicio 1 : Se tiene una caja con 5 esferas blancas, 3 azules y 4 verdes. ¿Cuántas esferas, como mínimo, se tendrán que extraer al azar para tener la certeza de haber extraído una esfera blanca? A) 6 B) 5 C) 8 D) 9 E) 11 RESOLUCIÓN : Se pide la menor cantidad de esferas para obtener una esfera blanca. Si extraemos la primera esfera y esta resulta blanca, se tendría ya lo que se quiere; entonces, solo sería necesario extraer una esfera. Pero esto no siempre ocurrirá, pues se trataría de una casualidad y buena suerte (en el mejor de los casos) . Por ello, lo adecuado es considerar el otro extremo (el peor de los casos); es decir, toda aquellas esferas que no se quiere. Veamos lo siguiente esquema: Por lo tanto, se extraen 8 esferas como mínimo. RPTA : ‘‘C’’ II) BOLOS NUMERADOS: Es un caso parecido, solo que los bolos tienen numeración, y al querer extraerles se señala los números deseados que saldrán al último. ejercicio 2 : Se tienen 50 bolos numerados desde el 1 hasta el 50. ¿Cuántos bolos, como mínimo, se deben extraer al azar para tener la certeza de extraer 5 bolos pares, mayores de 30? RESOLUCIÓN : Número de extracciones: 25 (bolos impares) + 15 (bolos pares menores e igual a 30) + 5=45 ejercicio 3 : Una caja contiene 45 fichas de las cuales 15 están numeradas con la cifra 1; 15, con la cifra 2; 15 , con la cifra 3. Halle el mínimo número de fichas que deben extraerse al azar para tener la certeza de obtener entre ellas dos cifras que sumen exactamente 5. A) 32 B) 38 C) 31 D) 25 E) 30 RESOLUCIÓN : Del enunciado, tenemos lo siguiente. Consideramos el peor de los casos, así Por lo tanto, mínimo número de fichas extraídas = 15+15+1 =31 RPTA : ‘‘c’’ III) CANDADOS y llaves : Existen dos casos posibles. Uno, para buscar qué llave le corresponde a cada candado (sin abrirlos), y otro, para abrir los candados. ejercicio 4 : Se tiene 5 automóviles y 4 llaves de las cuales 3 abren la puerta de tres de ellos y la otra llave no abre ninguna puerta. ¿Cuántas veces, como mínimo, se tendrá que probar al azar las llaves para saber con certeza a qué automóvil corresponde cada una? A) 4 B) 14 C) 5 D) 17 E) 11 RESOLUCIÓN: Considerando el peor de las casos. Enumeramos los autos: Luego probamos llave tras llave , iniciando por la que no abre ninguno de los autos (peor de los casos). 1ra llave: se prueba la llave y no abre ningún auto (5 veces). 2da llave: se prueba la llave y no abre hasta el auto 4 (4 veces) 3ra llave: se prueba la llave y no abre hasta el auto 3 (3 veces) 4ta llave: se prueba la llave y no abre hasta el auto 2 (2 veces). total de veces a probar: 5+4+3+2=14 rpta : ‘‘b’’ ejercicio 5 : Hay 7 candados de marcas A, B, C, D, E, F y G, y dos manojos de tres llaves distintas cada una. Se conoce que las llaves de uno de los manojos abren tres de los candados mencionados (cada llave abre solo un candado) y que las llaves del otro manojo no abren candado alguno. ¿Cuál es el menor número de intentos a realizar, para saber con seguridad qué llave corresponde a cada uno de los tres candados que pueden ser abiertos? A) 22 B) 25 C) 21 D) 23 E) 24 RESOLUCIÓN : Para encontrar con certeza el manojo que tiene llaves correctas, podemos elegir un manojo y tomar una de sus llaves e insertarla en cada uno de los candados dados. Se concluye que el manojo elegido no tiene las llaves correctas, por lo que probamos con las tres llaves del otro manojo (sí son las correctas). 7 + 15 = 22 RPTA : ‘‘a’’ IV) NAIPES : Puede ser: * Mazo completo: 54 cartas (poco usual), incluye 2 jockers. Para tener la certeza de extraer un número diferente de cartas, al final se debe extraer el número mayor de las que piden. ejercicio 6 : De un mazo de 52 cartas ¿Cuántas habrá que extraer consecutivamente y sin reposición para obtener con certeza una carta de color rojo? A)27 B)2 C)3 D)45 E)18 RESOLUCIÓN : Partamos de la consideración de que en todo mazo de 52 barajas se tienen 13 que son de espadas () y de color negro , trece son de trébol () también de color negro , trece de diamantes () , y de color rojo , trece de corazones () también de color rojo , es decir 26 barajas serán de color negro y 26 barajas de color rojo ; ahora la extracción sin reposición implica que una vez que se ha extraído una baraja ésta no retorna al mazo mientras continúa el proceso , pues bien siempre descartando el factor suerte y considerando el peor de los casos , se obtendrá consecutivamente 26 barajas de color negro siendo la 27° baraja necesariamente de color rojo , luego habrá que extraer 27 barajas para obtener con certeza una carta de color rojo . rpta : ‘‘a’’ ejercicio 7 : De una baraja de 52 naipes. ¿Cuántas cartas debo extraer como mínimo, para que salga con seguridad una carta de corazones? A)13 B)26 C)5 D)49 E)40 RESOLUCIÓN : Primero debo agotar todas las cartas que no son corazones , es decir que debo extraer : rpta : ‘‘E’’ V) GUANTES Y ZAPATOS: Debe considerarse que es diferente un guante o zapato de la IZQUIERDA con un guante o zapato de la DERECHA. Fórmula para obtener UN PAR ÚTIL: (del mismo color) # total de pares +1 ejercicio 8 : En un cajón se colocan guantes de box, 3 pares de guantes rojos, 4 pares de guantes negros y 2 pares de guantes blancos. ¿Cuál es el menor número de guantes que debe extraerse, al azar, para obtener con certeza un par de guantes utilizables del mismo color? A) 3 B) 5 C) 12 D) 10 E) 9 RESOLUCIÓN : Se quiere obtener un par de guantes utilizables del mismo color con la menor extracción de guantes. Para tener la certeza de obtener lo que se quiere, consideraremos el peor resultado posible al realizar nuestra extracción (caso extremo), es decir, que los guantes no sean utilizables (que todos sean para la mano derecha o todos para la izquierda). Veamos el siguiente esquemas: Por lo tanto, 10 guantes se deben extraer como mínimo. RPTA : ‘‘d’’ ejercicio 9 : En un cajón se colocan guantes de box ; 3 pares de guantes rojos , 4 pares de guantes negros y 2 pares de guantes blancos . ¿Cuál es el menor número de guantes que deben extraerse al azar para obtener con certeza un par del mismo color? A)18 B)10 C)4 D)11 E)8 RESOLUCIÓN : Suponiendo el peor de los casos : El último guante será el que complete el par del mismo color , pues será un guante ya sea rojo , negro o blanco Þ número total de guantes extraídos : 4 rpta : ‘‘C’’ el principio del palomar Sabías que hay por lo menos 2 personas en Lima con el mismo número de pelos en la cabeza. Tal afirmación es cierta y encuentra su explicación en un elemental pero importante Principio de Combinatoria conocido como Principio del Palomar o Principio de los cajones de Dirichlet. Principio del Palomar Si debemos poner N+1 o más palomas dentro de N palomares, entonces, algún palomar debe contener dos o más palomas. La prueba de este principio es bastante simple, para ello podemos considerar el peor de los casos, en el cual, en cada palomar solo hay una paloma, hasta ahí tendríamos N palomas, quedando una que con certeza deberá ubicarse en un palomar ya ocupado por otra. En nuestro primer ejemplo, los palomares son los números de pelos en las cabezas de las personas y las palomas son los ciudadanos de Lima. Se tiene la siguiente información: El número de pelos en una cabeza va de cero (calvos) hasta 500 000 (como máximo). El número de habitantes de Lima es aproximadamente de 8,5 millones. Como el número de palomas (8,5 millones) es mayor que el número de palomares (500 000 + 1 = 500 001), entonces, habrá algún palomar que contenga dos o más palomas, es decir, hay por lo menos 2 personas en Lima con el mismo número de pelos en la cabeza. EL PEOR DE LOS CASOS Sin lugar a dudas, ayer fue uno de mis días más desafortunados en mucho tiempo, todo a causa de no tomar mis precauciones, pues aún considerando las muchas tareas que tenía pendiente, decidí realizarlas todas el lunes: Todo empezó a tempranas horas de la mañana. Mi ventilador de repente se quemó, probablemente por el exceso de trabajo. Apenas andábamos por los 35 °C, por lo que no sufrí tanto. Estaba preparando algo de ropa para lavar, ya que esta noche me tocaba trabajar, y tenía que lavar mi uniforme... Y de repente, empieza a llover. Tenía que esperarme a que pasara la lluvia para lavar..., pero luego la lluvia se convirtió en tormenta. No me quedaba de otra que usar otro traje, así que empecé a elaborar los documentos que usaría en la noche. No había avanzado nada el domingo pero aún así tenía tiempo de sobra. Algunos minutos después, noté una pequeña gotera que estaba inundando mi armario, mojando absolutamente toda mi ropa limpia. Me dirigí al techo y estaba totalmente inundado. Los desagües se habían taponeado... Limpié los desagües, barrí el agua estancada, me caí un par de veces (aunque me salvé de una caída de espaldas desde arriba del techo) y cubrí el área del armario con un plástico para que no cayera el agua directamente. Todo eso me llevó casi una hora. Pensé que había terminado, pero no.. Me quise bañar para quitarme el barro de encima, y el servicio de agua potable estaba desconectado. Aún así tenía una reserva con lo que pude salir del apuro. Al retornar a la mesa de trabajo, noté que todos los documentos estaban en el suelo, inservibles. Por lo que decidí reimprimirlos. Pero la tinta se acabó. Así que fui a la tienda de la esquina para comprar más provisiones. Las calles estaban inundadas y el agua me llegaba a la mitad de la pantorrilla. Como pude crucé la calle, compré mis cosas. Ya en casa procedí al cambio de tinta, pero se fue el servicio eléctrico. Mi trabajo estaba en el disco duro, así que tuve que llevar el CPU a la casa de un vecino para poder copiar los archivos para imprimirlos en alguna cabina. Finalmente, tenía todo preparado pero me sentía exhausto y con la sensación de que esto podría haberse evitado si hubiera tomado en cuenta el peor de los casos.

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