Razonamiento y Habilidad Lógica matemática problemas resueltos pdf

LAS FRACCIONES EN RAZONAMIENTO MATEMÁTICO TEORÍA PREUNIVERSITARIA Y SECUNDARIA EXPLICACIONES EJEMPLOS PDF

Objetivos
* Esclarecer y profundizar el concepto de fracciones.
* Resolver ejercicios y problemas de aplicación aplicando el concepto y las
propiedades de las fracciones.
Donde:
"a": Es el numerador y representa las partes que se toma de la unidad.
"b": Es el denominador e indica las partes en que se divide la unidad.
Signos de una fracción
En una fracción debe distinguirse 3 signos.
- El signo que antecede a la fracción.
- El signo del numerador.
- El signo del denominador.

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  • Ejemplo: Unidad 45 Clasificación de Fracciones a) Fracción Propia Sea: f = a b ; f es propia si b > a Ejemplo: 3 ; 7 ; 2 5 9 5 b) Fracción Impropia Sea: f = a b ; f es impropia, si a > b. Ejemplo: 4 ; 7 ; 11 3 4 9 Fracciones UNIDAD 11 Nota: Toda fracción impropia se puede expresar: Ejemplos: 7 13 4 4 = ; 3 1 1 2 2 = c) Fracciones Reductibles Es cuando el numerador y el denominador no son primos entre sí, es decir son simplificables. Ejemplo: 8 ; 6 4 2 d) Fracciones Irreductibles Es cuando el numerador y el denominador sí son primos entre sí, es decir no son simplificables. Ejemplo: 3 ; 13 ; 7 4 17 2 e) Fracción Decimal Cuando el denominador es una potencia de 10. Ejemplo: 6 ; 37 ; 33 100 10 1000 f ) Fracción Ordinaria Es cuando el denominador no es una potencia de 10. Ejemplo: 3 7 ;5 9 g) Fracciones Equivalente Si a los dos términos de una fracción se les multiplica o divide por una misma cantidad, la fracción no varía. Ejemplo: 3 21 5 35 = son equivalentes (se ha multilicado al numerador y denominador por 7). 30 6 25 5 = son equivalentes (se ha dividido al numerador y denominador por 5). Variación del valor de una fracción i. Si: f = a b es una fracción propia, entonces: a) a m a b m b + > + b) a m a b m b − < − ii. Si: f = a b es una fracción impropia, entonces: a) a m a b m b + < + b) a m a b m b − > − f ( ) a b = + + + Cambio de signo de una fracción Si de los tres signos de una fracción se cambia dos de ellos, la fracción no varía. Ejemplo: 3 3 3 3 x x x x − = = − − = − − − Ejercicio: Calcular el valor de: b y x a y b x y a b a x E 4y x 5b a − − − − − − − −      =  +           Resolución: Como: x y (x y) 1 y x (x y) − = − − = − − − Análogamente: a b b a − − = -1 ; x a a x − − = -1 ; b y y b − − = -1 Reemplazando tendremos: 1 1 E 4 1 5 1 9 20 − − =  − + −   =    Fracción de un número dado (de, del, de los 〈 〉 a multiplicar) Calcular: a b de N = a b · N Ejemplos: Calcular los 2 5 de los 25 16 de 160 = 2·25 5 16 · 160 = 100 Calcular los 2 5 de los 95 de los 5 4 de 120 = 2·9·5 3 5 4 · 120 = 180 Método de reducción a la unidad Este método se aplica en aquellos problemas que relacionan: obra, trabajo, caños, grifos, piscinas, desagües, etc. donde no se conoce la magnitud del trabajo o tarea pero su es conocido el tiempo total que se necesita para hacer dicha obra. El procedimiento consiste en determinar el avance por unidad de tiempo, para lo cual basta tomar la inversa al tiempo total, así por ejemplo: 1. Si José hace una obra en 8 días, ¿qué parte del obra hace en 1 día? Rpta.: En un día hace 1 8 de la obra. 2. Si un trabajo se hace en 6 horas, en 1 hora hace 1 6 de la obra. De manera similar, si deseamos calcular el tiempo total basta invertir el avance por unidad de tiempo, por ejemplo: 1. Si en 1 hora hace 1/3 de una obra, todo lo hace en 3 horas. 2. Un caño en 1 hora llena 1/7 de un tanque, todo lo llena en 7 horas. Ejercicio 1: Ricardo hace un trabajo en 5 días y Roberto en 3 días. ¿En qué tiempo lo hacen juntos? Resolución: Ricardo en 1 día hace 1/5 de la obra. Roberto en 1 día hace 1/3 de la obra. Luego juntos en 1 día hacen: 1 1 8 5 3 15 + = de la obra. Problemas Resueltos 1. Se tiene una fracción equivalente a , cuya suma de términos es igual a 66. Calcular la diferencia de ambos términos. Resolución: ( ) ( ) 52 4 13 4k 91 7 13 7k = = ⇒ 4k 7k 66 11k 66 k 6 + = = ⇒ = Números: 4(6) = 24 7(6) = 42 42 – 24 = 18 2. Un vendedor de periódicos dejó 1 5 de los períodicos que llevaba en una oficina, los 38 del resto en una clínica. Si áun le quedan 20 periódicos por vender, ¿cuántos periódicos tenía para distribuir? Resolución Número de periódicos: x Oficina: 38 , queda 4x 5 Clínica: 3 4x 8 7       queda: 5 4x 8 7       Dato: 5 4x 8 7       = 90 ⇒ x = 40 # periódicos: 40 27 540 L v 45 v 3. Si a un tanque de agua le agrega 1 3 de lo que tiene, obtendré 56 litros más que la mitad de lo que habrá. ¿Cuántos litros de agua hay en el tanque? Resolución: Número de litros del tanque: x Número de litros que habrá: x x 4x 3 3 + = Dato: x x 56 4x 4x 56 x 84 3 6 6 + = + ⇒ = ⇒ = Número de litros que hay en el tanque: 84 litros 4. Hallar el resultado de: S = 0,037 + 0,074 + 0,1 + ....... + 1,259 Resolución: 0,0􀀀37 37 1 999 27 = = 0,0􀀀74 74 2 999 27 = = 0,1 1 3 9 27 = =  1,2􀀀59 1 0,2􀀀59 1 259 34 999 27 = + = + = ( ) S 1 2 3 ...... 34 34 35 595 22,0􀀀37 27 27 27 27 27 2 27 = + + + + = = = ⋅ 5. La piscina de Gracielita contiene agua hasta sus 2 7 partes de su capacidad. Si le añadimos 540 litros de agua, el nivel de agua sube hasta los 4 5 de su capacidad total. Si añadimos 540 litros a la piscina, ¿qué cantidad de agua faltará para llenarla? Resolución v = capacidad total 4 5 v = 540 + 2 7 v ⇒ v = 1050 l Falta para llenarlo: v – 4 5 v =v5 = 210 litros 6. Juan, David y Marlon realizarán una obra; Juan lo puede hacer en 10 días, David lo puede hacer en 12 días y Marlon lo puede hacer en 15 días. Si los tres trabajan juntos, ¿en cuántos días realizaron la obra? Resolución: Juan: 1 día hace T 10 David: 1 día hace T 12 Marlon: 1 día hace T 15 T : Obra total Los tres juntos en 1 día hacen: T T T 10 12 15 + + 1 día hacen T4 4 días hacen la obra T 7. En un cierto juego, Catalina pierde en un primer juego 1 4 de su dinero, en el segundo juego pierde 1 4 de lo que le quedó, y finalmente, en un tercer juego pierde 1 5 del nuevo resto, quedándole 18 soles. ¿Cuánto perdió en el segundo juego? Resolución Dinero: x Pierde Queda 1) x4 3x 4 2) 1 3x 4 4       3 3x 4 4       3) 1 3 3x 5 4 4          2 2 4 3 x 9x 5 4 20  =     Dato: 9x 18 x 40 20 = ⇒ = En el segundo juego pierde: 3 16 40 3 4 10 3 5 2 b g b g bg = = = S/. 7,5 8. Un estanque puede ser llenado por tres caños. El primer caño lo hace en 90 horas, el segundo lo llena en 72 horas y el tercero lo puede llenar en 120 horas. Estando vacío el estanque, se abren simultáneamente la llave de los 3 caños. ¿En qué tiempo llenarán 1 3 de los 2 5 del tanque?. Resolución Caños: A, B y C i) A: 1 hora llena 1 90 ii) B: 1 hora llena 1 72 iii) C: 1 hora llena 1 120 Los tres caños juntos. 1 hora llena: 1 1 1 1 1 1 3 1 90 72 120 9 10 8 40 30 + + =  + +  =   Luego los tres caños abiertos llenan el estanque en 30 horas. Luego: 1 3 2 5 30 4 b g FHG IKJ = horas 9. Un recipiente contiene 30 litros, de los cuales 18 litros son de agua y 12 litros son de vino. Se retiran 10 litros de la mezcla y luego se reemplaza por agua. Seguidamente, se retira 15 litros de la nueva mezcla y se reemplaza por agua. ¿Qué parte es el vino respecto a la cantidad de agua en la mezcla resultante? Resolución: Se trabaja solo con lo que queda de vino, ya que el siempre disminuye. 10L 15L Saco 1 1 3 2 Queda 2 1 3 2 · 12 = 4 litros vino (quedó) Piden: 4 2 26 13 = 10. Mi hermana Kelith gasta cada semana 37 de lo que gana; los 79 de lo que resta lo destina a otras necesidades. Si en 8 semanas ahorró S/. 640, ¿cuánto gana a la semana? Resolución: Sueldo semanal: x Gasto total (semana) 3 x 7 4 x 7 9 7 +   =     Ahorro total (semana) 2 4 x 8 x 9 7 63  =     En 8 semanas (ahorra): 8 8 x 640 x s / .630 63 =   = ⇒ =     11. Si: x y 1,0363636........... 5 11 + = ; x > 0 , y > 0 Hallar: y – x Resolución: x y 5 11 1 0,036 1 036 0 990 1 36 990 1 2 55 + = + = + − = + = + 11 5 55 57 55 11 5 57 2 7 x y x y + = ⇒ + = B B y –x = 7 – 2 = 5 Problemas Propuestos 1. Calcular el valor de un número sabiendo que si a la cuarta parte de sus 2/5 se le agrega los 2/5 de sus 5/8 y se resta los 3/8 de su quinta parte, se obtiene 121. a) 280 b) 440 c) 220 d) 880 e) 420 2. Una piscina está llena hasta sus 5/6 partes. Si se sacara 20000 litros, quedaría llena hasta sus 2/3 partes. ¿Cuántos litros faltan para llenarla? a) 20000 b) 30000 c) 40000 d) 36000 e) 120000 3. Se vende 1/3 de un lote de vasos. Si se quiebra 30 y quedan todavía 5/8 del lote, ¿de cuántos vasos constaba el lote? a) 620 b) 650 c) 670 d) 720 e) 750 4. Un envase contiene 48 litros de agua. Si se retiran 3/8 del contenido, luego los 2/3 del resto y por último los 3/5 del nuevo resto, ¿cuántos litros quedan? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 5. Se vendieron 1/5 de las entradas para una función de cine, el día de la función se vendió 1/3 de las que quedaban, quedando por vender 48 entradas. ¿Cuál es la capacidad del cine? a) 72 b) 84 c) 90 d) 108 e) 112 6. Un alumno del Ceprevi hace 1/3 de asignatura antes de ir a una fiesta, después de la fiesta hace 3/4 del resto y se va a dormir. ¿Qué parte de la asignatura le queda por hacer? a) 1/2 b) 1/6 c) 1/12 d) 2/3 e) 7/12 7. El sueldo de un profesor se incrementa en 1/5 y luego disminuye en 1/5 de su nuevo valor. ¿Qué sucedió con el sueldo de dicho profesor? a) No varía b) Disminuyó 1/5 c) Aumenta en 4/5 d) Disminuye en 1/25 e) Aumenta 1/10 8. De un tonel de 1400L de vino se extrae 1/4 de lo que no se extrae, luego 1/4 de lo que ya se había extraído. ¿Cuánto se extrajo en total? a) 200 b) 250 c) 280 d) 350 e) 430 9. Una cañería llena una piscina en 12 horas y otra cañería la llena en 60 horas. ¿En qué tiempo puede llenarse la piscina, si las dos funcionan simultáneamente? a) 5h b) 10h c) 12h d) 36h e) 72h 10. Tres hombres hacen un trabajo en 4 horas. Sabiendo que el primero lo haría en 9 horas y el segundo en 12 horas, ¿qué tiempo tardaría el tercero trabajando solo? a) 14h b) 15h c) 18h d) 17h e) 16h 11. Un caño llena un pozo en 3 horas y otro lo vacía en 6 horas. ¿En qué tiempo se llenará el pozo, si se abre el desagüe una hora después de abrir el caño? a) 3h b) 3,5h c) 4h d) 5h e) 6h 12. Dos albañiles pueden construir un muro en 20 días, pero trabajando por separado uno tardaría 9 días, más que el otro. ¿Qué tiempo tardará este otrro? a) 36 días b) 40 días c) 45 días d) 48 días e) 54 días 13. Dos grifos A y b llenan juntos un tanque en 30 horas. Si el grifo B fuese de desagüe se tardaría en llenar el tanque 60 horas. ¿En cuánto tiempo llenará la llave B el tanque estando éste vacío? a) 100h b) 110h c) 120h d) 80h e) 90h 14. A y B hacen una obra en 6 días; B y C en 4 días y A y C harían la misma obra en 3 días. ¿En cuánto tiempo haría la obra A solo? a) 4 días b) 5 días c) 8 días d) 15 días e) 12 días 15. A y B pueden hacer una obra en 20 días; B y C pueden hacer la misma obra en 15 días y A y C la pueden hacer en 12 días. ¿En cuánto tiempo harán la obra A; B y C juntos? a) 10 días b) 14 días c) 15 días d) 18 días e) 20 días Tarea Domiciliaria 1. Una pelota cae desde una altura de 54 m y en cada rebote se eleva una altura igual a los 2/3 de la altura de la cual cayó. Hallar el espacio total recorrido por la pelotita hasta tocar por cuarta vez la superficie. a) 160m b) 206m c) 208m d) 190m e) 186m 2. Cierta tela después de lavada se encoge 1/5 de su longitud y 1/6 de su ancho. ¿Cuántos metros deben comprarse para que después de lavada se disponga de 96 m2, sabiendo que el ancho original es de 80 cm? a) 160m b) 180m c) 200m d) 210m e) 220m 3. Se tiene un recipiente de 8 litros, con 5 litros de alcohol y el resto con agua. Se utiliza una cuarta parte de la mezcla y se reemplaza con agua, luego se utiliza la tercera parte y se reemplaza con agua. ¿Cuántos litros de alcohol queda? a) 1,5L b) 2L c) 2,5L d) 3,5L e) 3L 4. Alejandro puede hacer una obra en 15 días y su enamorada puede hacer la misma obra en 10 días. Alejandro empieza a trabajar en la obra y después de 5 días se incorpora su enamorada. ¿A los cuántos días de incorporada está concluída la obra? a) 2 días b) 5 días c) 3 días d) 4 días e) 6 días 5. De un total de 40 personas, se sabe que 12 son varones y el resto mujres. De las mujeres la cuarta parte son niña. Determinar qué parte de las mujeres son adultas. a) 21/28 b) 5/25 c) 16/23 d) 22/27 e) 23/28 6. En una granja hay “a” gallinas, “b” patos, “c” conejos y “d” pavos. ¿Qué parte de la granja no son mamíferos? a) a (a + b + c + d) b) (a b d) (a b c d) + + + + + c) (a b c) (b c d) + + + + d) (a b d) (a b d) + + + + e) (a b d) c + + 7. Un alumno resuelve los 3/5 de lo que resuelve. ¿Qué parte del examen ha resuelto? a) 4/7 b) 5/8 c) 4/9 d) 3/8 e) 3/7 8. La mitad de lo que me queda de gaseosa en la botella. Dice ella “Es igual a la tercera parte de lo que ya me tomé”. “Si tomo (dice luego) la cuarta parte de lo que me queda”. ¿Qué fracción de toda la gaseosa se habrá tomado? a) 3/10 b) 3/7 c) 2/3 d) 7/10 e) 1/3 9. Si César es el triple de rápido que Arturo, ¿en qué tiempo harán una obra si trabajan juntos, sabiendo que Arturo hace toda la obra en 6 horas? a) 1h 20m b) 1h 30m c) 1h 45m d) 1h 10m e) 1h 10. Alfredo en “a” días pueden hacer los m/n de una obra, pero Carlos en “n” días puede hacer los m/a de la misma obra. Si trabajan juntos, ¿cuántos días demorarán para hacer toda la obra? a) 2m/an b) an/2m c) an/m d) n/ma e) am/2n 11. 3 equipos de obreros podrían hacer el mismo trabajo, el 1º en 8 días, el 2º en 10 días y el 3º en 12 días. Se toma 1/2 del 1º, el 13 del 2º y los 3/4 del 3º . ¿En cuántos días quedará terminada las 19/30 partes del trabajo? a) 5d b) 4d c) 6d d) 8d e) 3,5d 12. Tres tuberías A, B y C funcionando juntas pueden llenar la mitad de un tanque en cuatro horas. Si funcionan solo A y B, pueden llenar todo el estanque en 10 hras; si funcionan “B” y “C” lo, llenan en 15 h. ¿En cuántas horas llenará la tercera parte del estanque la tubería “B” si funciona sola? a) 12 h b) 8h c) 6h d) 9h e) 4h 13. A y B pueden hacer una obra en 2 2 5 días, B y C en 4 días y A y C en 3 días. ¿En cuántos días puede hacer A solo la obra? a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 3 14. A puede hacer un trabajo en 10 días, B puede hacerlo en 5 días y C en 2 días. El primer día trabajó solo A, el segundo día se le une B y el tercer día trabajan los 3. ¿Cuántos días demora la obra? a) 2 1 4 b) 3 1 2 c) 3 4 d) 2 e) 3 15. A puede hacer un trabajo en 12 días y B hace el mismo trabajo en 60 días, después de trabajar juntos durante 2 días se retira A. ¿En qué tiempo terminará B la parte que falta? a) 25 días b) 14 días c) 36 días d) 48 días e) 50 días CLAVES DE RESPUESTA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

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