LÓGICA PROPOSICIONAL PROBLEMAS RESUELTOS DE PRE UNIVERSIDAD
LOGICA MATEMATICA
La lógica simbólica o matemática es la disciplina dedicada a identificar las formas de razonamiento. con el objeto de crear técnicas para determinar si un argumento es o no válido.
La lógica surge del estudio del uso del lenguaje en la argumentación y se basa en la identificación y el examen de aquellas partes del lenguaje que son fundamentales para estos propósitos.
Es formal , si se tiene en cuenta que no necesariamente hace referencia al significado; pues se puede utilizar para juzgar una cadena de razonamientos, en particular en una demostración de una afirmación de las matemáticas, sólo con base en la forma y no en el contenido de las proposiciones que aparecen en la cadena.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Es una parte de la lógica que tiene como objeto el estudio de la proposición y la relación existente entre ellas , así como la función que tienen las variables proposicionales y los conectivos lógicos.
ENUNCIADO :
Denominamos así , a toda frase u oración.
Ejemplos :
* Chota es ciudad cajamarquina .
* 7x – 5= 2
* ¡Viva la universidad !
* (–1)p = 1
CÁLCULO PROPOSICIONAL
La primera fase para el planteamiento del cálculo proposicional es un proceso de simbolización del lenguaje.
El lenguaje, como instrumento de comunicación del conocimiento humano, está constituido por frases interrogativas, imperativas y declarativas.
Estas últimas constituyen el elemento básico para describir el conocimiento.
Proposición lógica :
Es aquella expresión u oración que puede calificarse a bien como verdadero ( V ) o bien como falso ( F ) y sin ambigüedad, las proposiciones lógicas se denotan con letras minúsculas, tales como: p, q, r, s,… , etc
Ejemplo :
p : 5+ 4= 8…(F)
q : todo hombre es mortal…(V)
r : El libertador Simón Bolívar nació en Lima ...(F)
s : 14 es un número primo...(F)
A la veracidad o falsedad de una proposición se le denomina valor Veritativo o valor de verdad. De las frases declarativas se toman en cuenta inicialmenta las más simples, es decir, aquellas que pueden considerarse la unidad mínima del lenguaje con un contenido de información, donde es posible decir algo sobre su significado.
Éstas se llaman proposiciones atómicas.
Las proposiciones en general son pensamientos en los que se afirma algo y que se expresan , mediante enunciados u oraciones declarativas ; nuestro lenguaje está formado por enunciados aunque no todos ellos son proposiciones
EXPRESIONES NO PROPOSICIONALES
Son aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad . Entre ellos tenemos a los : exclamativos ; interrogativos o imperativos ejemplos :
• ¡Arriba Perú!...(Exclamativa)
• ¿Cómo esta?...(Interrogativa)
• prohibido detenerse...(Imperativa)
• ¡Dale Perú¡
ENUNCIADOS ABIERTOS :
También hay expresiones que se comportan de manera ambigua , que para ciertos casos adoptan el valor de verdadero y para otros el valor de falso denominándolos por ello , enunciados abiertos , los cuales van depender de una variable expresado en palabra o símbolo matemático (él , ello , aquel , etc; x ; y ; z ; etc.) Ejemplos: i) Él es un escritor peruano . donde «ÉL» es la variable . dando valores a la variable «ÉL» del conjunto de personas , se tiene: * «Albert Einsten es un escritor peruano» * «Ciro Alegría es un escritor peruano»
CLASES DE PROPOSICIONES
i) Proposición Simple ó Atómica :
Es aquella proposición con un solo significado , es decir no tienen conectores lógicos y tampoco el adverbio de negación «No» , además pueden tener un solo predicativo o dos sujetos unidos por una relación lógica. pueden ser de dos clases: Simples predicativas y simples relacionales
a) PROPOSICIÓN SIMPLE PREDICATIVA
Es aquella que tiene un sujeto y un predicado
Ejemplo :
«La matemática es una ciencia»
b) PROPOSICIÓN SIMPLE RELACIONAL
Es aquella que tiene dos sujetos unidos por una determinada relación.
Ejemplo :
«La tierra es más grande que la luna»
ii) Proposición compuestA o molecular :
Son aquellas que tienen dos o más significados unidos por conjunciones gramaticales o en todo caso que contienen el adverbio de negación «no».
Ejemplos :
* «Lenín estudia y práctica fútbol».
* «No es cierto que el ganso grazne»
Las proposiciones atómicas son frases declarativas donde es posible decir algo sobre su significado.
Por ejemplo, las frases:
La Tierra es redonda 2+3=5 Son declarativas pues informan algo y no se pueden dividir en frases más pequeñas que mantengan alguna información , Son proposiciones atómicas. Pero la frase:
El Sol brilla y hace frío Se puede descomponer en dos partes, separadas por la conjunción copulativa «y» .
el Sol brilla hace frío
Pues cada una tiene un contenido de información propio.
La conjunción copulativa «y» es un elemento del lenguaje que permite construir una nueva frase a partir de dos proposiciones, cuyo contenido de información es el de cada frase, pero añade la característica de simultaneidad de las dos.
En el lenguaje usual se utilizan otras formas para expresar lo mismo que se logra con la «y», con términos como , pero , sin embargo, no obstante, se dice:
El Sol brilla, pero hace frío
El Sol brilla, sin embargo hace frío
El Sol brilla, no obstante hace frío
Para evitar diferentes interpretaciones no se utilizarán las formas anteriores. En la representación simbólica siempre se utilizará la palabra «y». En el ejemplo anterior , «y» es una conectiva. Las conectivas son elementos del lenguaje que permiten construir nuevas frases a partir de otras. Las conectivas lógicas son: negación , conjunción , disyunción , condicional
El desarrollo del cálculo proposicional parte de la simbolización de las proposiciones atómicas y las conectivas.
Las proposiciones compuestas pueden ser : Proposiciones conjuntivas: tienen el conjuntor «y» Proposiciones disyuntivas: tienen el disyuntor «o» Proposiciones Implicativas: tienen el implicador «si……..Entonces......» Proposiciones Biimplicativas: tienen el biimplicativo «si y sólo si». Proposiciones negadas: tienen el negador «no» Es necesario aclarar que las proposiciones compuestas puedan estar en modo elíptico : es decir cuando el sujeto o predicado es tácito. Ejemplo : La tierra es planeta inclusive la tierra gira sobre su eje. Modo elíptico: la tierra es planeta inclusive gira sobre su eje.
CONECTIVOS LÓGICOS (Conjunciones gramaticales además el adverbio de negación «no»)
Llamados también operadores o constantes , son los términos básicos de enlace entre proposiciones lógicas simples , siendo las principales «y», «o», «si...entonces…», «…si sólo si…» Según el conectivo lógico presente que posea mayor jerarquía dentro de la proposición compuesta , esta adopta el nombre respectivo del conectivo , sean «p» y «q» proposiciones luego los más conocidos , serán
EJERCICIOS :
¿Cuántos de los siguientes enunciados no son proposiciones?
¿Qué hora es?
¡Viva el Perú!
x + 7 = 70
A) 2
B)3
C) 4
D) 5
E) 6